Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

а также соответствующие им значения абсцисс. После нахожде­ ния z подсчитываем давление Р по формуле (2.8) и напряжения под грузом по формуле (2.7).

При движении груза с постоянным ускорением перемещение его вдоль оси х в момент времени i

г] = wt%l2 + vt,

где w — ускорение груза; v — скорость его при входе на балку.

Делая замену t — tx ----—, получаем в функции переменной

где G (f) sin ф (t) — вертикальная составляющая центробежной си­ лы от неуравновешенной массы катящегося груза т\ ф (t) — угол поворота радиуса г , на котором расположена неуравновешенная масса т, если при входе груза на левую опору ц>(t) = 0 (рис. 5).

Перейдем в выражениях для G (t) sin ф (t) к переменной тр Амплитудное значение центробежной силы

5Г

и запишем выражение (2. 11) в функции тр

Подставив значение Рд в выражение (2.1) и введя параметры (2.4), а также новый параметр, характеризующий ускорение в направлении горизонтальной оси,

получим уравнение Стокса, обобщенное на случай равноперемен­ ного движения:

где, как и раньше, z = zA/z0, | = tj//. Напряжения и давления опре­ деляются из (2.7) и (2.8). В случае равномерного движения груза 1/у = 0 и уравнение (2.14) переходит в (2.5).

Численное интегрирование уравнения (2.14) проводится мето­ дом Адамса путем приведения к стандартной форме системы трех уравнений, причем первое и второе уравнения (2.9) остаются теми же, а третье принимает вид

а средняя скорость груза в пролете нСр= 1/г (ui + v)- Отрицатель­ ному значению у соответствует равнозамедленное движение, поло­ жительному — равноускоренное. Если движение равнозамедлено, возможна остановка груза в пролете. При остановке, наступившей

'52

в конце пролета, vt = О и у — —2. Если — 2 < у < 0, груз остановится, не дойдя до правой опоры. Например, при у — — 1 груз остановится посредине пролета.

Сопоставление результатов расчета для случаев невесомой и ве­ сомой балок приведено ниже.

Интегральные уравнения и алгоритм расчета колебаний весомой балки при движении груза с постоянной скоростью

Груз, перемещаясь по балке (см.” рис. 4), описывает траекторию, не совпадающую с изогнутой осью балки. Перемещение груза в направлении оси х происходит с заданной скоростью и, а в направ­ лении оси z движение груза глл определяется действующими на него вертикальными силами. Если предположить, что груз перемеща­ ется по балке, не отрываясь от нее, это движение можно рассматри­ вать как сложное вместе с балкой и как движение относительно балки со скоростью v. В этом случае ускорение груза в вертикаль­ ном направлении, а значит, и вертикальную координату траектории груза, можно определить с помощью частных производных динами­ ческих прогибов балки

Осями подвижной системы координат служат касательная и нормаль к изогнутой оси. Так как при поперечных колебаниях балки подвижная система совершает как поступательное, так и вращательное движение, составляющие ускорения груза можно интерпретировать соответственно как переносное, кориолисово и

Перемещение оси балки берем в зависимости от обобщенных ко­ ординат ft (t), q2 (0 , ..., qt (t), ... в виде

где z0 = 2P0l3/niE I — наибольший статический прогиб от силы, приложенной посредине. Тогда выражение для коэффициента дина-

53

мичности имеет вид:

где v = соl/nv.

Для определения обобщенной координаты воспользуемся урав­ нением Лагранжа второго рода

Потенциальная энергия, т. е. энергия изгиба

Обобщенная сила Qt определяется из выражения для Ря после перехода к координате qt. Предполагая, что координата qt полу­ чила возможное перемещение 6 qt, получаем для работы сил Рл выражение

где а и p — безразмерные параметры, характеризующие соответ­ ственно скорость груза и отношение массы груза к массе балки,

54

Тогда из уравнений Лагранжа согласно значениям (2.20), (2.21) и (2 .22) получим для обобщенной координаты qt дифференциальное уравнение, которое после перехода к независимой переменной т)

4=6

Вводим функцию

(2.27)

Тогда

ч

55