Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

замену в подынтегральном выражении

 

 

 

 

к

= -^-V 2riw +

vk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К = -^ -У 2тyw + и2,

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

1

« о

1

О2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T]l == - й - Ш)№ ----: - S -

------ ,

 

 

 

 

 

 

 

11

2

 

2

w

'

 

 

 

 

и преобразуем ^(г)):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qi (i'll =

А Ф) cos { ^ - V 2ti® +

п2) + 5 , (&) sin

 

^

2ri® +

п2) +

+

" ^

Г I ^

s in - ^ г ( V 2 ^ w +

V2 —

V ^ i W

+

V2)

*1i

 

У 2%w + у2

Здесь

& =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, переходя к безразмерным параметрам а , (3, у, полу­

чаем

 

 

-L(ч) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

(Ч

cos

 

 

 

1/

—

+

V’ ) +

 

 

 

+ B , ( 6 ) s i „ ( 4 ! - / S r p 7 . ) +

 

 

 

+ -^ г | Л Ы sin[ - £

( ] / i a t

+

Ts _

/

-

^

+ Т >)] А ь

(2.49)

где

 

М л )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| / i a r

+

1..

 

-2л Ё- У ( ч ) ( ^ - + 0 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

S ( 4 )

+

^ ( i +

l ) s m

^VKT|

 

tJXT]

(2.50)

Интегрируя последние выражения, находим

л

2 ( ti, 11) =

(Ь) -у-

+ /С2 (Ь) -f -jr I

(’I - ’ ^)U(X)dK,

 

 

 

b

 

 

 

 

*1

 

 

S

( t ]) = К

г ( Ь ) + ± - \ U ( k

) d X .

(2.51)

 

 

( ь

 

 

Выражения (2.49) и первое из (2.51) подобны соответствующим выражениям (2.25) и (2.28) для случая движения груза с постоян­ ной скоростью, поэтому для них также можно вывести рекуррент­ ные зависимости, аналогично (2.33), (2.35) определить значения

5 3 - 2 9 2 5

65

U (г|), а затем прогибы и напряжения. Однако в данном случае будем искать численное решение другим способом, который может быть применен и в случае постоянной скорости.

Приняв в уравнениях (2.49) и (2.51) b = 0, что соответствует

t = 0 ( t± — — !> ПРИ нулевых начальных условиях получим

« * - - З г J /. ^ ( V ^ +

f - V Y + f

dr\i,

п

ч

(2.52)

 

г(Л, Л) = 4 - ^ (4 - b )U (X )d K

S ( 4 ) = - L \ u ( k ) d k .

 

о

б

 

Разобьем первый интеграл на два интеграла, а в выражении для z (л, л) вынесем л за знак интеграла, после чего получим

4i (Л) =

лу

 

 

 

2лт

+

Г

X

i2a I

sin ( n

r / -

 

х

j /1 (Лх) cos { ^ -

У

 

+

у2) с^Лх —

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

•COS г

 

 

f h ы

- »

 

v

^

^ ‘) «**;

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

 

 

ч

 

 

 

г (Л,

Л) =

тт

Л \ U

( % ) d k —

\ W

( X

) d l

(2.53)

Для нахождения решения разбиваем интервал интегрирования на п участков с длиной каждого из них т (т = — ]. Пусть л прини­

мает дискретные значения л == пгт (1 •< т •< л), тогда из первого уравнения системы (2.53) получаем

Qi (пп) =

7 s (!,

т) 2 he +

с (г,

т) 2

h i 1,-

(2.54)

где

 

 

&=i

 

 

*=i

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ft— 1)Х

 

 

 

__________

 

я -yt

kx

 

 

 

 

j

h

('ll) s i"h ~ -

V

 

 

+ f )

* li.

a/

 

 

 

(ft—l)x

 

 

 

 

 

 

 

s (г,

m) =

sin

 

+

T! )

,

 

 

 

 

\ a

 

 

 

 

 

c (г,

m) =

cos

2my

+

V2),

 

 

 

6 6

а из второго уравнения —

 

 

т

 

 

т

 

г{тт, mx) = ^ L k —

2 Т k,

где

 

k=\

 

 

*=i

kx

 

 

 

kx

 

 

 

 

—

.( U(X)dX-

 

=

±

J W(X)dk.

 

(k —l)x

 

 

 

(k —l)x

При этом значение S (г]) из (2.52)

получим в виде

 

 

 

тп

 

 

 

S (тт) = 1 Г

2

L*-

 

 

т

k= \

 

 

Представим функцию f1 (ц) (2.50) в виде

 

М п ) = —

J - .

 

 

^ (л )-

 

V

 

+

V2

 

 

 

Далее, функцию F (ц) на каждом участке т примем постоянной, равной среднему значению FM и вынесем ее за знак интеграла. Для первого интеграла (2.54) получим

 

 

 

k x

 

 

 

 

 

 

 

 

h i

ityi2

kt

 

 

 

 

 

dr\l =

 

 

a l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ k

- l ) X

 

 

 

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Fki j

d s m

[ ^

Y

*M -

+

yA =

Fki[S{i, k ) ~ s ( i,

A - l ) ] ,

(fc-i)x

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.55)

аналогично

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h i =

Fki [c (i , &) — с (г, k — 1)],

 

 

 

 

Lk = ^ U k, Tk ^ ^ U k (2k ~ l ) ,

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2P

..

I

2k-

 

+ ')-% rM +

 

 

/=■« =

 

—гз— O'*

 

ул

 

 

 

 

 

r=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k— 1 + 1 ) sin

vn (2£ — 1)

sin- in (2k — 1)

 

 

 

уя

 

 

 

 

2n

2л

 

 

 

Uk — среднее значение функции Li (т)) на участке (& —

1) т <

ц <

С kx. Подставив значения

Lk и T k

в выражения для

z

и 5 ,

по­

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (/пт, mx) =

h h

^

u

k —

± z ^ U k ( 2 k - l ) ,

 

 

 

 

 

 

 

k =

\

 

ft= i

 

 

 

 

 

S (mx) =

i

m

 

 

(2.56)

 

 

—

2 t/*

 

 

£ = 1

5*

6Г

Согласно (2.18)

z {тх, тх) = ^ qL(тх) sin

.

i

 

Подставив вместо левой части ее значение из (2.56), получим

тт

т

2 а —

^ U k ( 2 k ~ l ) = '^d qi {mx) s i n - ^ - ,

1?

 

&=i

ft=i

где qt {тх) берется из выражения (2.54).

Объединяя члены, содержащие Um, получаем уравнение, опре­ деляющее его значение:

- ^ ( 2 m — l) + - ^ ( - ^ L +

 

 

т —1

 

т - 1

 

 

 

 

 

п-

k=\

 

k=\

 

 

m—1

 

•sin- inmn

 

m—1

 

 

 

 

s (t, m)

2

+ c (c

m) 2

+

+2U

 

 

 

 

a= i

 

 

 

ft=i

 

+

 

+

 

i ) sin ^

L

z i i i _

^

a

_ 2 [ /

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = 1

(2.57)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 . Ыт

.

ш (2m — 1) ,

 

ч г

 

\

/•

t41 ,

Фт : yrs m —

si n—

^

-- L {s(t,

m)[s(t,

m )— s(t, m — 1)] -f

+ с (г, m) [с (г, m) — с (г, m — 1)]}.

Зная t/m, по формулам (2.55) находим /т ; и J mt, из (2.54) полу­ чаем <7,- (тт ), затем определяем г {тх, х) и а {тх, х) в любом сече­ нии х. После этого переходим к вычислению Um+1 и т. д.

Динамические прогибы и напряжения при постоянной и переменной скоростях движения груза

В табл. 7 приведены максимальные коэффициенты динамичности прогибов середины пролета и напряжений под грузом, полученные при различных значениях параметров а и (3, а также значение § =

=

г]//,

при котором они достигаются.

Для расчетов пролет разби­

вался

на

200

участков {п = 200), а в

рядах (2.18) удерживалось

25

членов

(i =

25).

 

На рис. 8 и 9 приведены кривые наибольших в пролете коэффи­ циентов динамичности под грузом перемещений (2.18) и напряже­ ний (2.43) в зависимости от параметра а , определяющего скорость

,68

Т а б л и ц а 7

 

Z , о

1

2, а

1

г, о

1

г, а

1

2 , О

S

а

р =

0,5

р =

1

Р =

1,5

 

2

Р-=

3

 

 

0,05

1,047

0,450

1,063

0,510

1,041

0,555

1,035

0,445

1,072

0,490

1,02

0,460

1,05

0,510

1,04

0,565

1,02

0,410

1,07

0,515

 

0,10

1,087

0,430

1,132

0,485

1,150

0,515

1,154

0,545

1,158

0,560

1,07

0,425

1,12

0,520

1,15

0,515

1,17

0,520

1,18

0,520

 

0Д5

1,095

0,605

1,052

0,470

1,140

0,500

1,259

0,510

1,425

0,570

1,08

0,615

1,03

0,370

1,16

0,485

1,24

0,530

1,40

0,535

 

0,20

1,207

0,420

1,349

0,500

1,470

0,570

1,590

0,605

1,774

0,705

1,17

0,420

1,32

0,535

1,47

0,545

1,60

0,645

1,84

0,685

 

0,25

1,439

0,510

1,594

0,595

1,722

0,670

1,871

0,730

2,128

0,805

1,39

0,515

1,57

0,615

1,64

0,620

1,90

0,700

2,20

0,825

 

0,30

1,611

0,585

1,791

0,685

1,944

0,740

2,118

0,830

2,606

0,930

1,54

0,565

1,70

0,635

1,68

0,670

2,16

0,810

2,63

0,850

 

0,35

1,740

0,650

1,964

0,780

2,201

0,850

2,477

0,915

3,145

0,975

1,72

0,655

1,91

0,735

1,65

0,715

2,32

0,840

3,14

0,910

 

0,40

1,851

0,720

2,121

0,855

2,460

0,925

2,861

0,965

3,351

0,980

1,78

0,730

2,11

0,790

1,56

0,750

2,74

0,885

3,83

0,945

 

0,45

1,956

0,790

2,288

0,920

2,761

0,990

3,008

0,975

3,232

0,985

1,82

0,765

2,19

0,850

1,45

0,775

3,33

0,910

4,79

0,960

 

0,50

2,052

0,855

2,486

0,960

2,980

1,000

2,969

0,980

3,015

0,990

1,77

0,720

2,21

0,840

1,33

0,790

3,69

0,940

5,85

0,970

 

П р и м е ч а н и е . В числителе приведены значения

прогибов, в знаменателе — напря­

жений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

груза. На рис. 10 представлены наибольшие за все время движения груза по балке коэффициенты динамичности прогибов середины пролета z (1/2, ri), на рис. 11 — значения наибольшие в пролете коэффициентов динамичности давления Р (т|). В данном случае рассмотрен больший диапазон изменения параметра а , чем в при­ веденных выше таблицах.

Графики наибольших прогибов под грузом для различных зна­ чений р представляют собой однотипные кривые, сдвинутые друг относительно друга (см. рис. 8). Каждая из них имеет участок возра­ стания, достигает максимума при определенном значении а и далее снижается до значений, меньших статического прогиба. Для более тяжелых грузов прогибы увеличиваются быстрее и достигают мак­ симума при более низких значениях а. Однако величина максималь­ ного коэффициента динамичности прогиба под грузом почти не зависит от массы груза.

Наибольшие в, пролете прогибы достигаются не под грузом, а в середине пролета (см. рис. 10). Для более тяжелых грузов прогибы середины пролета так же, как и прогибы под грузом, увеличиваются быстрее и достигают максимума при меньших значениях а , причем

69

Смотрите также файлы