Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

по балке и расстояния между ними в долях пролета. Кроме того, задается отметка конца вычислений N >> п.

Было исследовано влияние распределенности нагрузки по про­ лету на динамические коэффициенты. Суммарная масса всех гру­ зов была одинакова для всех случаев. Проводились расчеты для одного, трех, четырех, пяти и десяти грузов. Последние находились на равном расстоянии друг от друга и располагались на участке

равными нулю.

В табл. 10 приведены наибольшие в пролете коэффициенты дина­ мичности прогибов и напряжений при а = 0,15 в зависимости от числа грузов, а также сечение пролета х/l, в котором достигается максимальный динамический коэффициент. Величины z и о для всех случаев записаны в одинаковом масштабе. Чтобы найти ис­ тинные значения динамических прогибов и напряжений, нужно z

умножить на z0 = а а — на сг0 = Как и следова­

ло ожидать, различие динамических коэффициентов для прогибов

жениях — 3% .

Сравним результаты динамических коэффициентов прогиба се­ редины пролета однопролетной балки с опытными. Опыты [17]

разгонялся на наклонной плоскости, причем различные скорости движения катка по балке достигались соответствующим выбором его начального положения на наклонной плоскости. При обработке результатов влияние затухания исключалось умножением полу­

ченных амплитуд на множитель ем, где h — коэффициент затуха­

85

ния. В табл. 11 представлены теоретические и опытные значения прогибов середины пролета при одном грузе для различных значе­ ний безразмерного параметра а , характеризующего скорость. Расчетные значения коэффициентов динамичности прогибов сере­ дины пролета г (т), //2) получены при п = 200 и i = 25. Здесь же в процентах приведена величина расхождения расчетных значе­ ний с опытными, причем положительный знак означает, что вычис­ ленное значение больше опытного.

В работе [16] описаны опыты по изучению влияния группы грузов. Испытания проводились на той же установке, что и для одного груза. Система грузов состояла из пяти одинаковых катков, соединенных между собой планками. Сила веса каждого катка 3,432 дан, расстояние между катками — 25 см. В табл. 12 приве­ дены значения коэффициентов динамичности прогибов середины

хорошем совпадении опытных и теоретических данных.

Приведем некоторые результаты сравнения расчетов, выполнен­ ных для однопролетных балок с помощью приведенного выше алго­ ритма численного решения интегральных уравнений, с расчетами, выполненными на основании других методов.

В работе [14] численно интегрируются уравнения Инглиса — Болотина в первом приближении. Сопоставление значений динами­ ческого прогиба, вычисленных Д. Б. Вольпером и А. Б. Моргаевским, с результатами решения интегральных уравнений (при п =

— 200, i = 50) приводит к следующим заключениям.

Для груза, масса которого вдвое меньше массы балки, а скорость перемещения вдоль оси балки изменяется в пределах а = 0,1768 -~ -т- 0,8385, расхождение наибольших в пролете коэффициентов дина­ мичности прогибов лежит в пределах 0,1 — 4% . Для груза с мас­ сой, равной массе балки при а = 0,1443 -д- 0,6928, расхождение

86

составляет 0,8— 7,1% . При более высоких значениях а в обоих случаях расхождение увеличивается. Динамические напряжения в работе [14] не определялись.

Сравнивая коэффициенты динамичности прогибов под грузом, найденные из расчета по алгоритму интегральных уравнений, с результатами, полученными методом обобщенных координат [53], видим, что наибольшее различие не превышает 0,6% . Следует от­ метить, что метод обобщенных координат не позволяет определять напряжения вследствие медленной сходимости рядов.

Методом интегральных уравнений можно определять как про­ гибы, так и напряжения, поскольку он позволяет удерживать в разложениях динамических прогибов значительное число членов ряда. Так как сходимость рядов для напряжений хуже, чем для прогибов, в рядах удерживалось 25—50 членов ряда.

Рассмотрим обобщение приведенного выше метода расчета, дающее возможность с одной стороны ввести в рассмотрение новые динамические факторы, а с другой — упростить решение задачи, позволяя свести случай движения массы к случаю подвижной силы.

Обобщение метода исследования колебаний весомой балки с подвижной нагрузкой

При изучении колебаний балки под действием массы, движущейся с постоянной скоростью v, внешняя нагрузка по всей длине балки равна нулю за исключением точки контакта, где давление будет

Если предположить, что груз не отрывается от балки в течение всего времени движения, то движение груза можно рассматривать как сложное совместно с балкой и движение относительно балки

прогиб балки под грузом равен вертикальному перемещению стерж­ ня, получим 2д.г (0 = 2Д (t, vt). Ускорение движущегося груза будет состоять из трех слагаемых

которые соответственно представляют собой переносное, кориолисо­ вое и относительное (центробежное) ускорение.

. Уравнение колебаний балки

87

с правой частью, представленной в виде (2.83), (2.84), может быть сведено в соответствии с методом Инглиса — Болотина к системе дифференциальных уравнений, с помощью которой определяются приближенные значения поперечных перемещений балки гд [8, 9]. Уравнение колебаний также может быть сведено к интегральному уравнению типа Вольтерра первого рода, из которого, как показано выше, численным методом определяются перемещения и напряже­ ния. Однако при этих методах решения предполагалась двусторон­

ка на две составные части (рис. 18) и рассмотрим отдельно верти­ кальные перемещения массы под действием неизвестной динами­ ческой реакции балки Рл и силы веса Р 0, а также колебания направляющей балки под действием неизвестной подвижной силы давления груза на балку Р д. Величины давления и динамической реакции балки равны как силы действия и противодействия.

Приравниваем вертикальное перемещение груза и поперечное перемещение стержня под силой, тем самым определяя пересече­ ние траектории груза и изогнутой оси балки. В случае, когда это пересечение возможно, т. е. груз находится на поверхности балки, при условии равенства перемещений получаем положительное зна­ чение силы давления Рд. В момент времени, когда Р д •< 0, груз отрывается от поверхности балки.

Помимо уточнения физической картины движения, учета воз­ можности отрыва груза и последующего соударения его с балкой предлагаемый подход к исследованию задач о динамическом воз­ действии сосредоточенных подвижных нагрузок позволяет ввести в рассмотрение новые динамические факторы. Может быть учтено контактное сближение груза и балки согласно обобщенной теории

движение груза по малой неровности произвольного профиля, заданного функцией гн (х).

Условие совместности динамических перемещений в месте кон­

Решение задачи о динамическом воздействии подвижных масс на конструкции и сооружения при расчленении механической си­ стемы существенно упрощается, поскольку сводится к решению

8 8

более простой задачи о колебаниях направляющей конструкции под действием подвижной силы Рл.

Применим описанный метод к решению задачи о колебаниях балки при движении сосредоточенной массы с учетом контактных деформаций и малых неровностей.

Уравнение поперечных колебаний балки имеет вид

E I ^ + PF ^ = qz (x, t),

где qz (х , t) — внешняя нагрузка, отнесенная к погонной единице длины стержня; E I — изгибная жесткость; рF — масса единицы' длины балки. Уравнение поперечных колебаний решается при начальных условиях, соответствующих балке, неподвижной в момент входа.груза, и краевых условиях, отвечающих выбранному виду закрепления концов. Последнее условие удовлетворяется вы­ бором соответствующих фундаментальных функций:

Правую часть уравнения поперечных колебаний представляем в^ виде ряда:

Подставляя разложения (2.86) и (2.87) в уравнение поперечных ко­ лебаний, в силу ортогональности фундаментальных функций при­ ходим к системе уравнений относительно обобщенных координат:

v и равномерно распределенной на участке длиной к, (2.87) прини­

ш -т

89