Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и напряжениям под грузом ka вычислялись для различных сече­ ний по формулам

,

Яд

и

п*Е1

и

41F

„

к р -

Ти7 ’

* ~

2P M g 2д’

6

Afgi

Стд>

где до — масса груза; Рд — контактная сила; W — момент сопро­ тивления поперечного сечения балки.

До точки отрыва (до = 1,84 м) различия между соответствую­ щими коэффициентами динамичности для случаев односторонней и двусторонней связи балки с грузом несущественны. Это значит,

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 13

Х\, м

kp

kz

kg

Xt, м

kP

kz

kg

0,20

0,79

0,04

0,22

1,60

2,44

1,38

1,89

0,81

0,04

0,22

2,47

1,38

1,90

 

 

0,40

0,78

0,16

0,38

1,80

0,93

0,61

0,72

0,80

0,16

0,39

0,87

0,60

0,71

 

 

0,60

0,62

0,40

0,46

1,84

0

0,42

0,31

0,63

0,39

0,45

—0,09

0,41

0,31

 

 

0,80

0,85

'0,78

0,82

1,88

0

0,27

0,16

0,88

0,76

0,80

— 1,12

0,25

—0,05

 

 

1,00

0,91

1,16

1,08

1,92

0

0,15

0,07

0,93

1,16

1,08

—2,19

0,13

—0,24

 

 

1,20

1,54

1,50

1,52

1,96

0

0,06

0,04

1,50

1,50

1,51

—0,71

0,05

—0,04

 

 

1,40

1.76

1,62

1,76

2,00

0

0

0

1,79

1.62

1.76

—0,33

0

0

 

 

что в пределах рассмотренной точности положение точки отрыва не зависит от коэффициентов k и q, определяющих контактное сближе­ ние, т. е. условия контакта точки почти не влияют на вертикаль­ ную силу взаимодействия балки и груза, движущегося с постоян­ ной скоростью. После точки отрыва в случае двусторонней связи сила динамического давления становится отрицательной. Однако неучет возможности отрыва груза в этом случае незначительно влияет на напряженно-деформированное состояние балки, по­ скольку точка отрыва находится у правого края, вблизи жесткой опоры. Поскольку, как показано выше, в выборе k и q может быть допущен определенный произвол (при изучении движения груза по балке без неровностей), значения этих коэффициентов могут быть выбраны ориентировочно, например на основе теории Герца для случая контакта неподвижных тел.

На рис. 22 приведены кривые контактных усилий Р л и на­ пряжений изгиба стд в сечении под грузом, возникающих при не­ равномерном движении шара по балке (радиус шара 0,05 м, скорость движения 20 м/сек). Сплошные линии соответствуют

94

равноускоренному движению с ускорением 40 м/сек2, штриховые

— равнозамедленному (ускорение 40 м/сек1).

Ускоренное движение в данном случае характеризуется более высокими значениями наибольших контактных усилий и напря­ жений под грузом по сравнению с равнозамедленным и равномерным движениями. При этом осно­ вой для сравнения является одинаковая средняя скорость в пролете. Отрыв груза от бал­ ки наблюдается как при рав­ номерном, так и при равнопе­ ременном движении.

В табл. 14 приведены мак­ симальные расчетные величи­ ны коэффициентов динамич­ ности по силе kP, прогибам под грузом kz и напряжениям под грузом k„, найденные при учете отрыва груза (в числи­ теле) и при наличии двусторон­ ней связи груза и балки без

учета контактного сближения тел по Герцу (в знаменателе), а так­ же указаны скорости входа груза на балку v и схода его с балки vv Для каждого коэффициента приведена координата х положения

груза, при котором достигается наибольший в

пролете

динамиче­

ский

коэффициент,

а также

координата

точки

отрыва

груза

хотр.

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

14

V , м / с е к

v v м / с е к

k P

X , м

k z

Ху м

k G

X, м

*отр

20

20

2,44

1,60

1,62

1,40

1,89

1,60

1,84

2,47

1,60

1,62

1,40

1,90

1,60

1,84

 

 

5

15

1,20

1,44

1,14

1,11

1,08

1,29

—

 

1,49

1,46

1,14

1,16

1,14

1,24

—

 

 

 

 

15

5

1,39

1,12

1,60

1,09

1,49

1,12

_

 

1,42

1,07

1,51

1,05

1,45

1,06

 

 

 

 

 

 

5

35

5,20

1,86

1,45

1,40

1,99

1,70

1,95

2,98

1,73

1,43

1,25

1,59

1,51

1,90

 

 

Из данных таблицы следует, что при постоянной скорости дви­ жения шара, а также сравнительно небольших ускорениях можно не принимать в расчет контактные деформации и вычисление проги­ бов и напряжений проводить без учета отрыва груза. Однако при значительных ускорениях следует принимать в расчет как контакт­ ные деформации, так и возможность отрыва груза.

Для исследования влияния малой неровности поверхности бал­ ки на процесс движения проведен расчет колебаний более корот-

95

кой балки 0,02 X 0,02 X 0,5 м. Скорость перемещения шара вы­ брана постоянной, равной 10 м/сек.

Функция zH(х) (2.85) принималась в виде

( ± 5

• К Г 4 sin-g-

м

при 0,1

< 0 ,4 ж,

= |

 

’

м,

 

[О

при х < 0 , 1

и х > 0 , 4

 

•где положительные значения г соответствуют вогнутой, а отри­ цательные — выпуклой неровности. Вследствие малой глубины не­ ровности изгибная жесткость и погонная масса балки могут быть приняты постоянными по длине.

На рис. 23, а показаны кривые контактных усилий Р д и напря­ жений Од в сечении под грузом, соответствующие движению шара

по балке с выпуклой неровностью, и кривые Р и о , полученные для балки без неровностей. На рис. 23, б приведены величины Р д и Од, соответствующие движению шара по балке с вогнутой неров­ ностью.

Сопоставление результатов свидетельствует о существенном раз­ личии процессов движения по балке с неровностью и без нее. На­ личие неровности приводит к весьма неравномерному распределе­ нию силы контакта по длине балки и повышает уровень изгибных напряжений. Движущийся шар, достигнув неровности, начинает стучать по поверхности балки. Это может вызвать повышенный износ контактирующих поверхностей, поскольку максимальные зна­ чения усилия удара значительно превосходят значения Р. Расчет процесса движения шара по балке с неровностью без учета кон­ тактных деформаций (k = 0) показал, что результаты вычислений существенно зависят от значений коэффициентов k и q, которые для различных поверхностей соприкасающихся тел могут быть определены по формулам, приведенным в работе [39].

Г л а в а т р е т ь я

ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА КОНСТРУКЦИИ

Колебания многопролетных балок, лежащих на промежуточных упругих опорах

Рассмотрим случай движения сосредоточенного подвижного груза по многопролетной неразрезной балке. Могут быть использованы промежуточные жесткие или упругие опоры, в том числе и нели­ нейно-упругие. В случае постоянного поперечного сечения балки уравнение ее колебаний имеет следующий вид (рис. 24):

 

E I

дх*

РF-

дР = Р д х,

t) 8(х — vt) -f-

 

 

 

 

 

 

s=1

 

 

=

<7(*. t),

 

(3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Рд — сила

давления

движущегося

груза; Ps — реакции

про­

межуточных

опор;

б — дельта-функция.

Находим решение в

виде

гд (х,

t)

=

z0z (х,

t),

(3.2)

1

с2_______

 

где

 

 

 

2PJ*

 

 

Т

4 ,

4 57

^

 

 

 

 

 

 

i J .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z°

п*Е1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г (х, 0 =

2

V» (0 sin

мх

 

Рис.

24.

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

Разлагаем правую часть уравнения (3.1) в ряд по фундаментальным функциям. Если принять нагрузку интенсивностью р распределен­ ной на малом участке длиной К, получим

<? =

0

при

0 < х < и / ------Y

’

 

q =

p

при

%

%

v t ----- g- < x < v t

+ - у

>

а также

 

 

 

 

 

<7 =

0

при

|s + - ^ < x < ^ s+i — -у -,

q =

psi

при

ts -----y - < * < £ s + 4 r

,

 

 

 

s = 1, 2, . , . ,

j,

 

де / — число промежуточных упругих опор.

7 3 -2925

97

Коэффициенты

разложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q(x,

t) =

2d H i (t)sm

mx

(3.3)

имеют вид

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЕЧЛ

 

 

 

 

vl+-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н, «>=4 1

psin

 

+

 

 

 

f

 

ire* .

 

 

 

 

Psi sin — j— ax =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

- Т

 

 

 

 

5=11 -A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*s

2

 

 

 

4 p

.

1'яА, .

intrf

 

4

V

 

 

•

.tugs-.

itXiKiq

=

- 4 - Sin —H7— Sin —;---

 

____

у n . cm ____21

 

 

 

 

iPs\ Sin—

 

 

in

 

21

l

 

 

S = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

для

сосредоточенных сил

X

 

0,

рХ ->

Рл, psiXs -> P s,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

,,

 

 

2Рд

•

iaitrf

,

2

 

п

•

 

 

 

 

~Гд

 

V

 

 

 

(*) =

- р - sm — г -

+

t

 

 

 

sin •

1

 

 

 

2 i p s si

S = 1

Переходя к обобщенным координатам, т. е. подставляя в (3.1)

разложения

(3.2)

и

(3.3),

и

принимая

ц =

vt, где

v —

скорость

движения

груза,

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d?qj (т|)

 

 

 

 

 

 

 

 

EJtTl

,

" V

/

\ •

t3 T £ s

dr)2

+

%

(-п)

аЧг

Р (т]) sin - r-

+

Z

P s (Л) sin —l

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s= l

 

 

 

 

 

 

 

P =

Рд/Р 0,

ps =

P JP 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =

vl/n V Fp/EI, kt

 

i2n/al.

 

 

Обобщенные координаты и обобщенные скорости запишем в виде

наложения общего и частного решений:

 

 

 

 

 

 

Qt (Л = А Ф) cos k(r\+ В{ Цз) sin kcr\+

Pal

X

 

 

 

 

X

 

 

 

 

izih

 

 

 

X) dX +

 

 

 

 

 

 

P (X) sin —— sin kt (tj —

 

 

 

 

 

 

i

 

'

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

sin - ^

r .( p* м

sin ki f t — ^

dX

 

(3.4)

 

 

 

 

S = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

^

=

- At ^

sin k{C[ +

Bl ^

cos

+

 

 

 

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

i2al

 

J P (X) sin

cos kt (tj — X) dX +

 

 

 

 

 

i

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

sin

i Ps (A.) cos kL(TJ — X) dX

 

 

 

 

 

 

S — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93

Произвольные постоянные определяются

при условии,

что для

г\ = b заданы обобщенные координаты и обобщенные скорости:

 

Al (b) =

7<(ц) cos ktb ■

1

dqt

 

 

 

 

-— sin kfi,

 

 

 

 

 

 

&i с(т)г|=й

 

 

Вi (b) =

qt Сп) sin k[b +

-jr

dqi

 

 

 

cos

 

Подставив

значения

постоянных

в

(3.4),

получим общее

решение

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

qt (л) =

<?i Ф) cos kt (ti — Ь) +

 

 

sin kt (ч — Ь),

i k

= ~

q‘ {b) sin М л -

&) + i r

1

^ 7 cos k‘

 

Вертикальная составляющая траектории груза может быть найдена из уравнения

 

 

A

d2z«r

= р _

р (t)

 

 

 

s

dfi

0

 

д у

h

 

где Р д — динамическая реакция балки,

 

равная силе давления дви­

жущегося груза.

 

 

 

 

 

 

 

Приняв

2д.г = г„

(zir + zr),

где z0zir — перемещение груза под

действием

силы веса

Р 0;

z0zF— динамическое перемещение

груза,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2г ( л ) = 2Р (Ь ) +

<4,=»

 

(Т| — Ь) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ W

<

 

ч2а2(5/2 г

 

«

( ч - ч

(3.6)

 

 

 

 

О

 

 

 

 

( л - Ь ) ^ - = ( л - Ь ) ^

л=г> +

 

 

+ 2а2р/2 ^

 

- (ri — Ь) ) Р (X,) dA,,

 

 

 

2а2р/

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В =

- А _

 

 

 

 

 

 

 

Н

Fplg

 

 

 

 

Разбиваем интервал, соответствующий времени прохождения груза по балке, на п участков длиной т = l/п. Полагаем, что неиз­ вестная динамическая реакция балки и реакции промежуточных

опор постоянны

в пределах

участка

0 < т т < ; л < 1 / и 'г + т < С/

и равны Р (т)) =

Р т.|_ь

p s (т])

= p s , m +

1- Вводим обозначения

 

М (I,

т) =

qt (тт),

 

d q t

 

N (г, m) = -jr

(3.7)

 

 

 

 

Т ) = т х

 

 

 

 

 

Q (т) = 2Г (тх),

 

Ч

 

 

 

 

 

ц — т х

 

7*

CD со

Смотрите также файлы