Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
Для |
сосредоточенной силы Р д полагаем к ->- 0, |
рк |
Р д. Пере |
|||||||||
ходя к пределу, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2Рд |
. |
mvt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
. Sin - |
1 |
|
|
|
Подставив |
значение Ht (t), |
перепишем уравнения |
(2.88): |
|||||||||
dtf |
■+ |
$4i = - ^ г р Ы) sin- |
I |
(г = |
1, 2, |
3, |
... ) , (2.89) |
|||||
|
т |
'n4i ~~ a 2/2 |
v |
|
|
|
|
|
||||
где Р = |
|
Р д/Р0• Решение уравнений (2.89) запишем в виде |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
Qi (г]) = Лг (Ь) cos ktx[ + Bt (b) sin kti\+ |
J P (к) x |
||||||||||
|
|
|
|
|
X sin |
|
s;n kt (ri — А,) |
|
|
(2.90) |
||
Траектория груза в плоскости его движения определяется из |
||||||||||||
системы |
|
двух дифференциальных |
уравнений |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Р„ |
d2x |
|
|
d2z„ |
= Р о ~ Р Л®. |
|
||
|
|
|
|
g dp |
|
g |
dP |
|
||||
где P0 — вес груза;, F — сумма сил тяги и сопротивления; Р д — динамическая реакция балки; 2дг = z0 (zir + zr); z0Z]T— переме щение груза под действием силы веса Р 0; z0zr — динамическое пе ремещение груза. Последнее в зависимости от динамической реак ции имеет вид
гг (ч) = zr Ф) + |
Ч = & |
(Ч — Ь) + |
|
|
|
|
|
|
|
+ - В Д Г (Л - |
b f - |
J |
Р (X) (п - к) йк, |
(2.91) |
где |
|
ь |
|
|
|
|
Р = P 0/Fplg. |
|
|
гг = 2д.г/20, |
р = |
Р д/Р0, |
|
|
Разбиваем интервал, соответствующий времени прохождения груза по пролету, на п участков длиной т = //«. Полагаем неизвест ную динамическую реакцию постоянной в пределах участка Р д (г|) =
= Pm+i |
при |
т т < |
г) < ; т т + |
х. Вынеся за знак |
интеграла пос |
|
тоянное |
на |
участке значение |
силы, |
выполнив |
интегрирование |
|
и приняв b — т т , |
из (2.90) и (2.91) получим |
|
||||
qt (т)) = |
At (тт) cos kti\+ |
В, (тт) sin ktx\+ |
X |
|||
|
X Isin |
-----^ sin [kt (ri — тт)] cos JlF P l— |
||||
|
|
|
'— cos lkt (r] — тт)] sin |
1ШЛТ |
(2.92) |
|
|
|
|
~T~ |
|||
SO
г(т]) = г (т т ) + -|^ т]=тт (т\— tm )Jr
+4сс2р/2 (ц — тх)2 (1 — Р т+1).
Заметим, что первое из уравнений (2.92) является решением задачи о колебаниях балки под действием постоянной движущейся силы. Положив тх = 0 согласно разложению (2.86), получим прогибы под действием силы Р 0:
, |
4\ |
2Р013 |
г2=1 |
|
i*“JT . |
г, /а\ * |
|
|
fox . |
2Д (Х’ |
|
” л4£/„ |
Л(- (0) cos |
а/ "П+ |
Pi (0) Sin |
Т] |
БИТ |
; h |
|
+ 2 |
|
1 |
!JW/ |
|
Pnvt |
-sin |
(ЯХ |
||
- i2 (г2 — а 2) |
sin- |
sin- |
г=1 |
■а2) sin ■ |
а I |
~ г |
|||
;=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый ряд представляет свободные колебания, определяемые начальными условиями для прогибов и скоростей упругой оси бал ки, второй ряд — вынужденные колебания, третий ряд — свобод ные колебания, вызванные эффектом приложения подвижной силы. Выражение для прогибов при At (0) = B t (0) = 0 совпадает с реше нием С. П. Тимошенко [45] для движущейся постоянной силы.
Возвращаясь к случаю движения инерционного груза, вводим обозначения
М (г, т) = qt {тх), |
N (г, т) = |
и1\ т)=тт |
|
Ki |
|
Q{m) = z{mx), |
R{m) = x-^~ |
Ti=mi |
|
ат1 |
Далее, подобно тому, как это сделано выше, преобразуем выраже ния (2.92) в рекуррентные зависимости, позволяющие установить связь между записанными выше функциями на границах двух
участков — при г) = |
/пт + т |
и г] = |
тх: |
|
|
|||||||
М (г, т + |
|
М (г, т) с (г) + |
N (i, |
т) s (г) + |
Р т + 1 |
1 |
||||||
1) = |
X |
|||||||||||
г2 (Г2 — а 2) |
||||||||||||
|
. |
/ я ( т + 1 ) |
а |
|
|
тгг |
■c (i) sin - |
|
|
|||
X |
Sin |
v |
^ |
--------- S (г) COS —- |
|
|
||||||
|
|
п |
i |
w |
n |
|
|
|
|
|||
N (г, m + |
1) = |
./V(t, |
m) c (i) — M (i , |
m) s (г) |
rm-f-l |
X |
||||||
i2 (i2 — a 2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ (2.93) |
||
X |
a |
m (m + 1) |
a |
mm |
|
s (i) sin |
inm |
|||||
— COS —2----!----------- - c{l) cos------- |
n |
|
||||||||||
|
1 |
|
n |
|
I |
w |
n |
|
|
|
||
Q {tn + |
1) — Q (tri) + |
p |
(m) + |
4a2pn2 |
(1 |
Pm+l) |
|
|||||
R(m + 1) = R (m) + |
- 2 ^ r ( l ~ P m+0> |
|
|
|||||||||
91
где
12 ЗТ |
* /2 ЗТ |
l |
c (0 = c°s — |
, s(») = sm — , |
n = — • |
Условие совместности динамических перемещений под грузом (2.85) принимает вид
Q {m + 1) — М (i, т + 1) sin |
in (т + 1) |
■2H(т% + т) — |
i=l |
|
|
■kxPm+\ + |
Zlr = О, |
(2.94) |
где
kpl
К— Zlг
Решая нелинейное уравнение относительно Р т+и получаем значения неизвестных сил давления на каждом шаге. Если значе ния Рт.|i •< 0, что свидетельствует об отрыве груза, при подсчете (2.93) для следующего шага полагаем P m+i = 0. Прогибы на каждом шаге определяются рядом
оо
2 |
* inx |
М (i , т -(- l) s in - y - . |
|
1=1 |
|
Нормальные напряжения находятся из ряда, полученного дву кратным дифференцированием выражения прогибов
со
а{х, тт, + т) = |
^ г2М (г, т |
1) sin |
• |
|
|
г=1 |
|
|
|
Динамические прогибы и напряжения |
|
|
|
|
при учете контактных деформаций |
|
|
|
|
и малых неровностей |
|
|
|
|
Приведем примеры численных расчетов. На рис. 19 |
показаны кон |
|||
тактные усилия, действующие на стальную балку размером 0,02 X |
||||
X 0,02 X 2 м (Е = 2,1 • 1011 нм~2, р = 7,8 • 103 |
кгмГ3) при ка |
|||
чении по ней стального шара радиусом 0,05 |
м (р = |
8,1 |
• 103 кгм~3) |
|
со скоростями 10,20 и 30 м/сек. Результаты |
получены |
в предполо |
||
жении, что контактное сближение шара и балки определяется по закону Герца. Из рисунка видно, что при скорости движения v =
= |
20 м!сек в точке |
хг = 1,84 м происходит |
отрыв груза от бал |
ки, |
тогда как при |
v — 10 м/сек контакт |
сохраняется по всей |
длине балки. Увеличение скорости движения сопровождается уве личением максимумов контактных усилий и смещением их к пра вому краю по ходу движения. Инерция движущейся массы ока
зывает существенное влияние. Так, при v = 30 м/сек максималь ное значение контактного усилия почти в шесть раз превосходит
92
силу веса. Однако, поскольку максимум достигается вблизи пра вой опоры, увеличение контактной силы в большей мере оказывает влияние на износ контактирующих поверхностей и в меньшей мере на прогибы и изгибные напряжения. Кривые прогибов и напряже ний в сечении под грузом, воз
никающие при скоростях движе |
Pg'WU |
|
|
|||
ния 10 и 20 м/сек, |
показаны на |
2 ,4 |
|
|
||
рис. 20, где видно, |
что с увели |
|
|
|
||
чением скорости движения про |
|
|
|
|||
гибы и напряжения возрастают |
1,6 |
|
И |
|||
и их максимумы смещаются по |
|
|
||||
ходу движения. |
|
|
|
ж |
||
|
|
|
|
|||
Для оценки влияния отноше |
0,8 |
|
2о\ |
|||
ния массы шара к |
массе балки |
■---"■ |
||||
на положение точек отрыва ра |
|
|||||
|
|
v=10 |
||||
диус шара увеличиваем до 0,06 м. |
0 ___ ;| |
Г" |
||||
\v=w \ \ ч? |
||||||
Тогда, |
как и для шара радиусом |
1 |
0,8 |
Ьв |
||
0,05 м, |
при v — 20 м/сек нару- |
|
рис |
jg |
||
шается контакт шара и балки.
Точка отрыва смещается вправо и удаляется от левого конца бал ки на 1,9 м. При этом максимальное значение контактного усилия возрастает до 229 Я , что почти в два раза превышает максимальное значение для шара радиусом 0,05 м.
Изгибные напряжения в сечении под грузом для скоростей дви жения 10 и 20 м/сек показаны сплошными линиями на рис. 21. Штриховые линии соответствуют движению по балке силы, величи на которой равна силе веса шара. Видно, что инерция движущейся массы влияет как на величину изгибных напряжений, так и на положение их максимумов по длине балки.
В табл. 13 для сравнения приведены коэффициенты динамичности при односторонней с учетом контактного сближения (в числителе) и двухсторонней (в знаменателе) связи балки и груза, движущегося
с постоянной скоростью. |
|
|
Рассмотрен шар радиусом 0,05 м, |
движущийся |
со скоростью |
20 м/сек. Коэффициенты динамичности |
по силе kP, |
прогибам kz |
93