Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В выражениях (3.4) и (3.6) выносим за знак интеграла постоян­

ные в пределах участка

значения

Р т+\ и p s,m+ ь Выполнив инте­

грирование и положив b

= тх, г] =

тх + т, с учетом обозначений

(3.7) из (3.4) — (3.6) получим рекуррентные формулы, связываю­

щие значения

обобщенных

координат

и

вертикальных перемеще­

ний груза в начале и в конце участка:

 

 

 

 

 

М (i,

т +

1) =

М (г,

т) с (г) -f- N (г,

т) s (г) +

 

 

I

Р т + 1

 

 

sin

in (от 4-

1)

 

 

 

mm ,..

 

 

“Г <2 ((2 — w2)

 

 

 

 

sin— — с (г)

 

 

os

 

 

tzim

/«\

+

1 — c (t)

 

 

i n i s

 

—

cos------- s (i)

 

 

S

 

Ps,m+ 1 SUl

 

 

l

 

 

 

n

4

'

 

 

 

S = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (i,

m +

1) =

N (i,

m) с (г) — M (г,

m) s (г) -f

 

 

 

m+1

 

 

a

 

 

их (от +

1)

 

a

mm ... .

(3.8)

 

 

 

—

COS-------1---- 1— —

~ T

cos — 7,—

c (0 +

J>-2 /,-2-- a2)

t

 

 

 

n

 

 

. .

 

inm

 

, .v

,

s (0 V 1

 

 

•

inis

 

 

+ sin — -— s (г)

 

+ —

p r - 2 j

P s . m

+ l S i n

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s= l

 

 

 

 

 

 

Q (m +

1) =

Q(m) + R(m) +

4a^ a

(1 — Pm+i),

 

R (m +

1) =

R (m) +

 

2a^

a

(1 — Pm+0,

 

 

где

 

 

 

 

i2n

 

 

 

 

г2я

 

T

 

c (i) — cos

are

’

s (г) =

sin

are

n =

/

 

Если многопролетная неразрезная балка имеет нелинейные упру­ гие опоры типа Дуффинга, их реакции записываются в виде P s (t) —

=

— CsiZA(t,

У

— cs2z® (t,

У , где cs\ и cs2 — коэффициенты упру­

гости

опоры

с

номером s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вводим относительные коэффициенты упругости опор:

 

 

 

 

 

 

r

cslzo

п

 

cs2z0

 

 

 

 

 

 

 

^Sl —

n

’

^s2 —

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r o

 

 

r o

 

 

 

 

Переходя

к

безразмерным

величинам,

получаем

ps (г))

=

=

— CsiZ (г),

у

— Cs2z3 (т], у ,

а на

участке тх < т] <

тх +

т

 

 

 

Ps,m + 1 =

—

C slZm+I (|s) —

C S2Zm+\ ( У ,

(3 .9 )

где

zm+1 ( у

— среднее

в участке значение

прогиба на опоре.

 

 

Для определения неизвестных Р т+1

и

zm+1 (У

запишем усло­

вия совместности деформаций под грузом и на опорах:

 

 

 

 

 

2д.г (п) — 2 Д (л .

11) —

20zri ( п) —

« с (4 ) =

0 .

 

 

 

 

 

 

2д Сп>

У

z0zm-i-i ( у

=

0

 

 

 

 

 

 

(s = 1, 2,

.. .,

/,

тх <

г] <

тх +

т),

 

 

100

где z0zH— неровность

балки;

а с — контактное

сближение груза

и балки. Используя (3.7) и (3.8), получаем

 

 

 

 

Q (т +

1) — Yi М (i,

т +

1) sin

ст

------

 

 

 

 

 

*=1

 

 

 

 

 

 

 

 

— 2Н(тт + т) — &iPm+l +

21г = 0,

(3.10)

2

Л1 (г,

т +

1) sin

_ 2m+1 ( у

= 0

 

 

i = l

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(s = 1,

2, . . . , j,

zlr =

k1),

 

 

 

где 1гъ q — безразмерные

коэффициенты,

определяющие

контакт­

ное сближение груза и балки согласно теории Герца. Заметим,

что

в выражениях (3.8)

значение

p s,m+\ для

нелинейных

опор

сле­

дует брать из (3.9).

Для линейно-упругих

опор

 

 

 

 

 

 

P s ,m + 1 =

— C s lZ m + l (5s)-

 

(3.11)

Большие значения

коэффициентов С$1 соответствуют случаю балок

с жесткими опорами. Аналогично могут быть рассмотрены и дру­ гие виды нелинейных опор, задаваемые выражениями типа (3.9).

Коэффициенты динамичности многопролетных балок

Подставив в систему

(3.10) значения Q (т + 1) и

М (т 4- 1) из

(3.8),

с учетом (3.9)

или (3.11) получим систему нелинейных урав­

нений

относительно

неизвестных Р т+\, zm+1 (5S).

Нелинейность

вызвана учетом контактного сближения согласно обобщенному за­ кону Герца колеса и рельса железнодорожного вагона, а также нелинейной жесткостью опор.

Не останавливаясь на влиянии контактных деформаций и малых неровностей, рассмотренных в предыдущей главе, исследуем влия­ ние нелинейных упругих опор.

Т аб л и ц а 15

/

а

3

1

а,

Pi

2

1.5а,

0. (6) р,

3

2а,

0,5(1,

4

2,5а,

0,4(5,

5

За,

0.(3) р,

Сч si

с 1

°sl

3.375С*,

? X 00

15,625с*,

2?С*,

c s2 zi a i

С1

Z

а

c s2

 

 

38,44С*2

3,3752

l,5o

5120*2

8z

2о

3815С*2

15,6252

2,5о

19 680С*2

272

За

Система нелинейных алгебраических уравнений (3.10) решалась по методу Ньютона. При т = 0 начальное приближение для всех

101

 

zv ° /

л

гг а 1

11

гГ а/

Л

Zj,

с,-

4

 

 

 

а

i = 1; Р, = 0 , 5 ;

/ = 2 ; Ру = 0 , ( 3 ) ;

/ = 3 ; Р у = 0 ,2 5 ;

i = 4 ; Ру = 0 ,2 0 ;

 

“/ = 0 ,1 ;

 

“ / = 0 ,1 5 ;

а у = 0 ,2 0 :

а j = 0 ,2 5 ;

 

1 ,0

 

C'sl =

3 ,3 7 5

rl _

8,0

c ' j

= 1 5 ,6 2 5

 

с ^1 =

 

 

csl “

 

 

 

 

Таблица 16

Zj, а,

i = 5 ; Ру = 0 ,1 (6 ) ; а / — 0 ,3 0 ; 'То II

а /

0,5282

0,475

0,6344

0,525

0,5989

0,365

0,6025

0,700

0,5995

0,745

0,663

0,635

0,570

0,205

0,561

0,360

0,570

0,125

0,579

0,905

9™

0,6511

0,445

0,6870

0,355

0,6666

0,575

0,6729

0,765

0,6475

0,170

 

0,754

0,345

0,665

0,760

0,644

0,890

0,619

0,140

0,632

0,900

4а,-

0,7819

0,535

0,8355

0,450

0,7741

0,310

0,7839

0,260

0,7817

0,210

0,829

0,545

0,716

0,460

0,729

0,850

0,631

0,280

0,731

0,905

 

Км

0,8506

0,620

0,9563

0,530

0,8738

0,360

0,8909

0,310

0,8862

0,255

 

1,11

0,650

0,770

0,540

0,824

0,900

0,964

0,895

0,716

0,755

 

0,8585

0,685

1,049

0,590

0,9515

0,410

0,9576

0,360

0,9543

0,290

 

1,36

0,775

0,846

0,570

0,802

0,365

0,893

0,930

1,02

0,920

/а,-

0,8205

0,720

1,117

0,655

1,005

0,650

1,001

0,420

0,9916

0,330

1,56

0,830

1,03

0,800

0,922

0,820

0,774

0,310

0,951

0,935

 

 

Z j,

с/

Л

2г °!

Л

zj, а,-

Л

zj, а,

Л

Z j , Оу

4

 

а

; =

1;

р ;- =

0 ,5 ;

1« 2; Ру = 0, (3);

/= 3 ; Ру = 0 2 5 ;

/= 4 ; Р у = 0 , 2 ;

/= 5 ; Ру

= 0 ,1

(6);

а у

= 0 ,1 ;

аj = 0,15;

“/= 0 ,2 5 :

 

а;- = 0 ,2 ;

С[j = 8 0

а у = 0 ,3 ;

 

 

 

 

Cll =

1°

c ' j = 3 3 ,7 5

W* _

1 5 6 ,2 5

C s l =

270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cs! -

 

 

 

 

а,-.

0,1395

0,730

0,1398

0,815

0,1365

0,860

0,1394

0,885

0,1400

0,905

0,495

0,725

0,438

0,165

0,433

0,100

0,423

0,105

0,434

0,910

 

Зау

0,1591

0,715

0,1585

0,820

0,1539

0,870

0,1510

0,890

0,1525

0,910

0,477

0,205

0,516

0,845

0,483

0,890

0,467

0,105

0,480

0,925

 

4ау

0,1772

0,275

0,1778

0,185

0,1763

0,140

0,1760

0,110

0,1754

0,090

0,546

0,250

0,543

0,185

0,537

0,890

0,522

0,905

0,527

0,075

 

5аj

0,2284

0.800

0,2529

0,860

0,2543

0,895

0,2576

0,915

0,2555

0,930

0,815

0,810

0,871

0,870

0,870

0,910

0,926

0,930

0,846

0,940

 

6а

0,2197

0,345

0,2299

0,235

0,2186

0,175

0,2176

0,140

0,2170

0,115

0,903

0,905

0,907

0,980

0,722

0,960

0,583

0,120

0,592

0,100

 

7а-

0,2253

0,380

0,2254

0,255

0,2243

0,190

0,2233

0,150

0,2224

0,125

1

0,671

0,910

0,6100

0,755

0,746

0,905

0,672

0,965

0,564

0,100

 

1 0 2

 

Zj, Oj

11

Zj, Oj

4

Zj, Oj

4

Zj, Oj

 

Zj,

Oj

T1

а

i = l;

Pj

= 0,5;

i = 2; Py =

0,(3);

/ «= 3; Py = 0,25;

j = 4; p,- = 0,2

i = 5;

Py=0,1(6);

 

“ / =

o,i;

a / = 0,15;

a j =

0,2;

a j =

0.2 5;

cty =

0,3;

 

r1

_

•104

C'$l = 3,375-10*

c[i =

8 - ! 04

C'j = 15,625-10*

d j = 27 -10*

 

°si

—

 

0,0955

0,235

0,0920

0,155

0,0918

0,115

0,0897

0,090

0,0911

0,080

 

0,460

0,830

0,402

0,160

0,414

0,905

0,382

0,105

0,392

0,940

 

0,1069

0,785

0,0994

0,840

0,0929

0,890

0,1008

0,905

0,0948

0,925

 

0,478

0,805

0,472

0,845

0,432

0,905

0,436

0,920

0,437

0,930

4 а /

0,1171

0,225

0,1056

0,845

0,1112

0,110

0,1115

0,090

0,1118

0,075

0,524

0,225

0,467

0,850

0,490

0,110

0,487

0,085

0,490

0,075

 

0,1555

0,785

0,1447

0,845

0,1305

0,125

0,1303

0,100

0,1507

0,930

 

0,701

0,805

0,640

0,840

0,555

0,125

0,602

0,930

0,664

0,930

/

0,1485

0,860

0,1418

0,185

0,1419

0,140

0,1415

0,110

0,1416

0,095

0,782

0,905

0,848

0,935

0,732

0,960

0,847

0,965

0,676

0,610

#w7

0,1493

0,310

0,1462

0,200

0,1463

0,150

0,1462

0,120

0,1462

0,100

0,656

0,320

0,637

0,195

0,681

0,915

0,832

0,960

0,631

0,100

П р и м е ч а н и е . Для каждого значения ау в числителе приведены значения

гу (т^, Т|)

в знаменателе — значения <jy (г|, т|).

неизвестных выбиралось равным Р = 1, для последующих т начальным приближением являлись решения, полученные при т —■1 шаге. По приведенному алгоритму составлена программа для ЭЦВМ. Интервал интегрирования разбивался на 200 участков (п = 200), в разложении (3.2) удерживалось 50 членов (i = 50).

Для выяснения влияния числа пролетов на коэффициенты дина­ мичности было проведено исследование колебаний многопролет­ ных балок при последовательном наращивании одинаковых про­ летов.

Если lj — длина балки с / промежуточными упругими опорами и числом пролетов, равным / - f l ; F — площадь поперечного се­ чения; E I — жесткость; р — плотность балки, то параметры задачи запишутся в виде

а .

v l j

 

II

 

 

 

- У - Ц г

 

 

 

c s l z 0

w

cs2 H

 

r 0

U S2 —

P o

 

 

4 =

2 P / j

 

 

n * E I

 

 

 

 

 

Рп

W ig

y

(3.12)

Динамические прогибы и напряжения для балки с / промежуточ­ ными упругими опорами вычисляются по формулам

2д = ZQZ

Од = ОоО,

(3.13)

103

Смотрите также файлы