Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 0
Обобщенная координата будет
qt (л) = |
Л- Ф) cos kp\ + |
В,: ф) sin ktx\+ |
||
|
г1! |
Р (X) sin |
sin ki (г] — X) dX + |
|
+ -Ц, |
|
|||
Pal |
|
|
|
|
i |
|
|
1 ps (X) sin kt (л — X) dX -+- |
|
+ |
sin |
|
||
S = |
I |
Ш |
'n |
|
|
Г |
1 |
||
+ |
У] s in -^ p - { pk (X)sinki (y] — X)dX\ . |
|||
k=l |
|
ь |
J |
|
где pk = Pk/P0. Уравнение |
движения массы с номером k анало |
|||
гично уравнению вертикальных перемещений подвижной массы,
следовательно, перемещение массы k |
запишем в виде |
|
||||
|
2д* (л) = z0zh (л), |
|
|
|
||
zk (Л) = zk Ф) + |
dzk |
(л — &) |
я2 |
(л — Ь)г |
— |
|
dr) |
4а2р/2 |
|||||
|
2а2рР 1ь ръ М ^ — ^ d^ |
|
|
|||
Условия равенства |
перемещений |
балки в точках alt |
а2, ... , аг |
|||
ш вертикальных перемещений сосредоточенных масс, из которых
определяются силы |
взаимодействия масс и балки, имеют вид |
2д (Л. ак) — 2ДК (л) = |
0 ( 6 = 1 , 2, ..., г). |
Рассмотрим колебания балок с различными краевыми условия ми. Поперечные колебания балки постоянного сечения, нагружен
ной равномерно распределенной нагрузкой f (х , t), |
описываются |
уравнением |
|
E l J £ r + Pp J W - = f ( x> о- |
(3-15) |
Переходя к безразмерным прогибам (3.2) и безразмерным коорди натам g = х/1, получаем
дЧ |
EI |
дЧ |
f ( l , t) |
|
(3.16) |
|
дР + |
рFP |
д11 ~ |
рFz0 |
’ |
||
|
Решение этого уравнения находим по методу Крылова [30] в виде
M i, 0 = |
2 <7п |
|
i= 1 |
причем каждый член суммы |
удовлетворяет уравнению (3.15) и |
граничным условиям (условиям закрепления концов балки). Поло
жив b2 = E I/pFP , получим выражение |
для |
свободных |
колебаний |
||
qn (t) Xt (|) |
qlx {t) Х Г (l) |
= 0 |
(3.17) |
||
или |
|
|
|
|
|
'in (0 |
* tIV(i) |
|
4 |
|
|
-Ь'ЧчО ) |
*t(5) |
~ |
П |
' |
|
.112
Следовательно, уравнение (3.17) эквивалентно уравнению от носительно обобщенных координат
q n + b ^ q n = |
0 |
(3.18) |
и уравнению форм |
|
|
X}w — r*tXt = |
0. |
(3.19) |
Решением последнего уравнения является фундаментальная функция
X (|) = A sin г& + В cos г ^ + С sb r,-| + D ch r£g,
которая определяет форму изгибных колебаний по длине балки. Здесь А, В, С, D — произвольные постоянные, определяемые гра ничными условиями.
Условием существования фундаментальной функции, отлич ной от нуля, является равенство нулю храктеристического опре делителя, корни которого обозначены rt. Круговая частота соб
ственных поперечных |
колебаний |
балки |
будет |
|
|
P t = |
, 2 |
2 "I Г |
EI |
|
b r i = r |
t y |
|
|
Из уравнения (3.18) |
получим |
|
|
|
qn = |
А{ cos |
- f Bi sin ptt. |
||
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид
со |
|
z, = 2 (At cos pit + Bi sin p^) X t (l). |
(3.20) |
i=i |
|
Характеристические уравнения и их корни для различных усло вий опирания концов, а также фундаментальные функции, ортонормированные в интервале z = zlt z = z2, приведены в табл. 19. Значения фундаментальных функций приведены к виду, удобному
при расчетах на ЭЦВМ. |
Для |
|
вынужденных колебаний |
находим |
||
частное решение неоднородого уравнения (3.16). |
|
|||||
Представляем функцию |
/.(£, 0 в виде ряда: |
|
||||
f i t , 9 |
= |
2 |
H |
i ( t ) X i ( t ) , |
(3.21) |
|
где |
|
t = l |
|
|
||
|
z2 |
|
t) x (i)t d i |
|
||
|
|
J |
/ (i, |
|
||
^ ( 0 |
= |
- |
^ |
------------------- |
|
|
j x\ (?) dl
Zi
Если фундаментальные функции ортонормированы, то
=t ) X c i l ) d l .
2i
Частное решение так же, как и общее, ищем в виде
со |
|
2,(6, 9 = 2 qiA t)X i{t). |
(3.22) |
i=i |
|
8 3 - 2 9 2 5 |
113 |
|
Вид закрепления |
*1 |
г% |
|
конца |
|||
Свободен |
Свободен |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
Оперт |
Оперт |
—0 |
1 |
Заделан |
Заделан |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
Оперт |
Заделан |
0 |
1 |
Заделан |
Свободен |
1 |
1 |
|
|
~~ т |
т |
Оперт |
Свободен |
0 |
1 |
Фундаментальные |
Характеристи |
функции |
ческие уравнения |
cos г/гi |
, |
ch г |
*8 T |
= |
- |
thT |
cos г/г/2 |
|
ch rk/2 |
||||
sin rk\ |
|
sh rk' |
|
|
|
|
sin г/г/2 |
|
sh rk/2 |
t g Y = th T |
|||
У 2 sin rkl |
|
sin |
rk |
|||
cos r$, |
|
ch |
tg ^ = - t h ^ |
|||
C O S Г/г/2 |
|
C h Г/г/2 |
||||
sin /-*1 |
|
sh rkl |
|
|
|
|
sin г/г/2 |
|
shrft/2 |
|
|
|
|
sin rkl |
|
sh rkl |
tg rk = |
th rk |
||
sin Г/г |
|
sh Г/г |
|
|
|
|
sin rkl |
|
ch rkl |
*« T |
= c th ^ |
||
sin rk!2 |
|
ch Г/г!2 |
||||
cos г/г% |
, |
sh r£. |
tg r| |
= |
- c t h j |
|
cos г/г/2 |
|
sh Г/г/2 |
||||
sin гУ |
. |
sh rkl |
tg Tk = |
|
th rk |
|
sin Г/г |
|
sh Г/г |
|
|
|
|
Таблица 19
|
|
|
Корни характеристических уравнений |
|
||
|
|
k |
Первый |
Второй |
Асимптотическое |
|
|
|
|
значение |
|
||
1, |
3, |
5, . . . |
4,7300408 |
10,9956078 |
^ + ^ ( / , 4 |
5Ч |
2, |
4, |
6, . . . |
7,8532046 |
14,1371655 |
2fe + 1 Я (ft ^ |
61 |
1, |
2, |
3, . . . |
Я |
2я |
1. |
3, |
5, . . . |
4,7300408 |
10,9956078 |
2, |
4, |
6, . . . |
7,8532046 |
14,1371655 |
1, |
2, |
3, . . . |
3,9266023 |
7,0685828 |
1, |
3, |
5, . . . |
1,875104 |
7,854757 |
2, |
4, |
6, . . . |
4,694098 |
10,995541 |
|
kn |
2ft + 1 |
,, |
— |
я (ft > 5) |
2ft + 1
2JL \,c ^
^K ( f t > 3 )
2ft — 1
— — я (ft > 5)
2ft — 1
— Y~ я (ft > 6)
1, 2, 3, . . . 3,9266023 |
7,0685828 |
^ ^ * Jln (J\IC^ |
O3) |
|
|
Подставив в (3.16) разложения (3.21) и (3.22), получим
со со со
2 |
9 и Л + Ь* 2 |
qaX}w = |
Нг<0 |
2 |
|
В Д . |
;=1 |
(=1 |
|
1= 1 |
|
||
Использовав уравнение (3.19), |
получим |
|
|
|
||
СО |
о+ p\qa (/)] х{© = |
|
СО |
Ht (t) Xt (g), |
||
2 9/2[ |
Prz o |
2 |
||||
t= l |
|
|
г= 1 |
|
|
|
что даст для определения обобщенной координаты уравнение
*4(2 |
, |
2 ... |
Ht (t) |
|
d t * |
+ |
Viqa |
(г) = |
pf 2o |
' |
|
V/ — |
||
Поскольку для частного решения должны быть нулевые начальные
условия, решение |
получим в |
виде |
|
|
|
t |
|
9/2 |
= -pFloPj - J |
Hi (К) sin pi it — K ) dXi |
|
|
t |
Z t |
|
q* = |
J |
d k ^ f (g, О X, (g) sin Pi (t - X,) dg. |
|
|
0 |
Zj |
|
Полное решение уравнения (3.16) определяется суммой общего
(3.20) |
и частного (3.22) решений: z — гг + |
z2. Записывая |
qt вместо |
|
9п и |
qi2, находим |
|
|
|
|
9/ (0 = |
Ai cos Р/(0 + Я; sin р i(i) + |
|
|
|
l |
eg |
|
|
|
pFz0Pi ^ d li |
j / (g, 0 X , (g) sin |
(t — Xj) dg, |
(3.23) |
|
0 |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
*(g, |
9 = 2 9( (*)*((£)• |
(3.24) |
|
|
|
/=i |
|
|
При подвижной нагрузке, переходя к переменной, характери
зующей положение груза |
на балке г) = vi, |
где v — скорость гру |
||||||
за, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9/ (Л) = |
А, (ту cos kti\ + |
B t (т]0) sin kti\ + |
|
||||
|
|
|
Ч |
z2 |
|
|
|
|
+ |
oF zW |
J dK 1 f & |
^ |
® Sin k‘ (T1 “ |
(3 ‘25) |
|||
где kt = PJv\ |
0 |
1 |
4o |
2, |
|
|
|
|
"По — начальное значение переменной тр При сосре |
||||||||
доточенной подвижной силе Р А функцию / (g, ц) задаем в виде |
||||||||
/ (g, т]) = |
0 |
для |
0 < х < |
т) — |
и |
т] Н— |- < |
х < /, |
|
Hi, |
т)) = |
Р |
Для |
Л |
< х < т] -| |
» |
||
т. е. полагаем, что подвижная нагрузка равномерно распределена на участке длиной е, а ее интенсивность р — Рд/е. Далее, пере ходя к пределу, при е -*■ 0, ре Ра получаем выражения для обобщенных координат (3.25).
8* |
115 |