Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вычислительный процесс строится следующим образом. Пред­ полагая, что в момент входа груза стержень находится в покое,

находим М (i, 0) = N (i, 0) = Q (0) =

R (0) =

0. Далее, из (3.37)

определяем неизвестную при 0 < г) <

т силу

Ръ затем из рекур­

рентных формул (3.36) — значения М (г, 1), N (г,

1),

Q (1),

R (1).

После этого из (3.37) определяем Р2 при т -< л < ;

2т.

Далее расчет

проводится аналогично до конца интервала

т] =

пт — I.

Если

полученное из (3.37) значение Pm+i <

0,

что

свидетельствует об

отрыве груза от стержня, полагаем в (3.36)

Р т+\= 0

(т. е. рассма­

триваем свободные колебания стержня и свободный полет груза) и ведем расчет дальше по формулам (3.36) и (3.37). Если полученное для очередного шага из (3.37) значение Р к > 0, значит груз вер­ нулся на стержень.

Прогибы и угловые перемещения на каждом шаге определяются выражениями

00

2Д(х, тт + т) = z0 2 M z (г, m + 1) s i n - ^ - .

i= 1

1

о

 

0Д(х, mx + т) = 0О2 Me (г, m

1) sin m.x .

i= i

L

Нормальные и касательные напряжения определяются согласно данным, приведенным в работе [50]:

<*ях (х, у, z, t) = E

(5 2 2 д (X, t)

,

дх2

1\ ’

Тд2Х (х, у, z, t) = G

ух(х, у, z, i) = Q

3 20д (х, t)

дх2

<Э0д (х , 0

дх

<Э0д (X , t )

дх

ф (У,

г) —

 

дф (у,

г)

 

} (3.38)

+

У1

дг

 

 

 

 

ду (у, Z)

 

ггJ > ;

ду

 

где ось х совпадает с упругой осью стержня, начало осей у и г лежит на упругой оси. Начало координат zyy^ расположено в цент­

ре изгиба

сечения. Соотношения между координатами будут у1 —

= у — ys,

zl— z — zs,

где ys,

zs — координаты центра изгиба

в системе

координат у,

z; ф (у,

z) — функция кручения, задавае­

мая обычно в виде многочлена относительно двух переменных [50]. Для тонкостенных стержней открытого профиля функция кручения может быть отождествлена с секторной площадью.

Переходя к (3.27) и (3.35), получаем значения напряжений при ■Л = /пт + т. Выражение для нормального напряжения в крайнем

волокне имеет вид

 

 

 

 

Од (х, у,

л) = о0

Уд

ф(У. Z)

X

а 2 гшах

 

 

 

 

 

121

 

 

X 2

^м в (*> m +

1) sin —y— +

 

 

 

 

i= 1

 

 

 

 

 

 

+

■

2i

• 2

 

m + l ) s i n - ^ -

 

(3.39)

 

 

max t=l

 

 

 

 

 

где a0 = P0lzmaJ i I y; zmax — расстояние до крайнего

волокна. Ка­

сательные напряжения

могут быть определены по формулам

ЬД2* ( х ,

У ,

г , ф

 

 

«Эф(у,

г) .

Ух

X

 

2/rf

дг

 

гх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ых

 

 

 

 

 

i=i

 

5 /

■■

 

 

 

 

Wknr,

dtp (у,

г)

*1

 

Ч у х ( X ,

У ,

Z, Т]) = т 0

X

2h

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2

*М0 (г, tn +

Ых

 

 

 

 

 

l)cos- . .

 

 

 

 

( = i

 

1

 

 

 

где г) = тх + т, т0 = P0yqj2WK, Wk — момент сопротивления при кручении.

Для оценки влияния скорости движения груза а и эксцентриси­ тета приложения нагрузки yq/rx на динамические коэффициенты прогибов и напряжений при изгибно-крутильных коле­ баниях были проведены

10расчеты на ЭЦВМ. При этом пролет разбивался на 200

 

 

 

 

 

 

2,5

участков,

в

разложениях

 

 

 

 

 

 

(3.27) удерживалось 25 чле­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нов ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,0

На

рис.

35

приведены

 

 

 

 

 

 

значения

наибольших

за

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

время

прохождения груза

 

 

 

 

 

 

1,5

по стержню коэффициентов

 

 

 

 

 

 

 

динамичности в среднем се­

 

 

 

 

 

 

1,0

чении стержня по прогибам

0,1

0,2 0,1

0,1 0,2

0,1

0,1

 

z (1/2,

г]) (рис. 35, а)

и

0,2 0,1 0,1 0,2 оС

 

а

б

 

 

§

г

углам

поворота

0(7/2,

т))

 

 

Рис.

35.

 

 

(рис. 35, б), а также наиболь­

 

 

 

 

 

 

 

шие значения коэффициен­

тов динамичности

сечений

под грузом по напряжениям а (тр г])

=

= ag

Сп> ЛЦпо (рис. 35,

в)

и контактным давлениям Р (ц) (рис. 35,

г).

Все графики построены в зависимости от скорости груза а. Поскольку конкретная форма сечения не задавалась, в выра­ жении для нормальных напряжений (3.39) удерживалась лишь вторая сумма. Депланация поперечного сечения и инерция пово­ рота также не учитывались. Расчеты проводились для подвижной массы, вдвое меньшей массы стержня ((3 = 0,5). При этом рассмат­ ривалось движение массы вдоль оси изгиба yq/r1 = 0 (кривая /) и движение массы при несовпадении оси действия нагрузки с осью

122

изгиба i/9/rj = 1 (кривая 2) и г/,/^ = 2 (кривая 3). Штриховая линия соответствует встречному движению двух грузов вдвое меньшей массы (р = 0,25), каждый из которых отстоит от оси изгиба на Уя/ Г1 = 1 и движется со скоростью а. Решение задачи встречного движения получено наложением приведенных выше решений.

Из графиков следует, что динамические коэффициенты проги­ бов, а также контактных сил (и как следствие — напряжений) при изгибно-крутильных колебаниях, как правило, выше, чем чисто изгибных колебаниях стержня, вызванных приложением подвижной нагрузки вдоль оси изгиба. В отдельных случаях наи­ большие динамические коэффициенты достигаются при встречной нагрузке.

Следовательно, помимо указанных ранее параметров а и р , определяющих динамические свойства системы подвижный груз — направляющая конструкция, в случае изгибно-крутильных коле­ баний динамические свойства зависят также от расстояния между линией действия нагрузки и осью изгиба. При исследовании отры­ ва груза от стержня установлено, что увеличение эксцентриситета подвижного груза снижает значения а , при которых наступает отрыв груза.

Колебания многопролетных балок при движении подрессоренного и неподрессоренного грузов с учетом рассеивания энергии

При учете затухания уравнение поперечных колебаний балки запишется в виде

 

E I

о4гд

+ pF

д22д

f

P-Е!

дьЧ

Яг (•*>

 

(3.40)

 

дх4

dt-

dtdx* =

0 .

где р — коэффициент,

характеризующий

внутреннее трение мате­

риала балки

[50].

Найдем

 

решение в

виде

 

 

 

где

 

 

 

 

2д ( д t) =

г0г (х,

t),

 

 

(3.41)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2РГ13

 

 

 

, ,

v

 

и\

■ inx

 

 

 

2° = ~ Ш Г ’

 

2

 

t] = £

ъ

W sin — ~

’

 

Р г — вес

неподрессоренной

 

части груза. Заменим действие проме­

жуточных упругих опор, расположенных на расстоянии

от ле­

вой опоры, реакциями

 

P s (t),

а действие подвижной

массы — си­

лой Р д(/).

Правую часть уравнения (3.40)

представим

в виде ряда

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qz(x,

 

0 =

2

З Д s

 

i

n

(3. 42)

Здесь

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2РД (t)

sin

invt

+ 1~1l

 

i2|s

 

 

 

 

I

 

~т~

Ps ( 0 s>n

i

 

S = 1

123

где/ — число промежуточных упругих опор. Уравнение для определения обобщенных координат получим после подстановки

(3.42) и (3.41) в (3.40) и замены т) = vt:

 

 

 

+ 2Л‘ ^

+ * ‘ <ч> -

 

 

Jl2

 

[p (Tl) sin

^

+ 1 Ps (л) sin

k

1.

(3.43)

a2i2

 

 

 

s=l

1

J

 

 

 

P =

Р У РГ>

Ps = P./PT,

 

 

 

 

hi ~

iw

l

kt = г'2л/а/,

 

 

 

 

2a2

l

 

 

 

-\iv/l, a = vl/n У F p /E I.

£=

£— безразмерный параметр, характеризующий затухание. Реше­ ние уравнения (3.43) получим в виде

 

 

 

сп (il) =

е

M

\At (Ь) cos rtr\+

Bt (b) sin rtx\\+

 

 

 

 

e~ hiл

я*

\ P (X) ehp sin

sin ri (r) — X) dX +

 

 

 

ri

аЧ1

 

 

 

~в

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 .

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

#

 

'I

 

 

 

 

 

 

 

 

+

cm

-- --

 

£ ps (X)ehi>'sm ri (r\ — X)dX,

(3.44)

 

 

 

'£1 s i n - ^ 5-

 

 

 

 

S = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

r< =

] / * ? - ft?

=

^ ~ r ih

 

rit =

V 1 -

- ^ S - C 2

-

At,

B t —

произвольные

постоянные. Дифференцируя

(3.44), на­

ходим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hi

 

 

 

 

1 deg (4)

=

 

 

B t (b)

 

 

 

 

 

 

 

cosr.ri------ г - sin r{:т)

 

 

 

 

п

*1

 

 

 

 

 

'

Ti

 

 

 

 

 

— A£ (b) (sin r£r\+

—p - COS rp1j

+

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2/3

) P (X) ehi%sin

cos rt (ц — X) dX —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- - % - $ Р

W ^

sin

 

sin rt (rj -

X) dX +

 

 

 

—M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Л

‘ '___5 !_ V

sin

i

( ps (X) ehi% cos r£(ц — X) dX —

 

^

 

П

a2/2 Z jsm

 

 

 

 

 

~

§ Ps W ehl%sin rt (t) — Я,) dX

(3.45)

124

Смотрите также файлы