Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

E I

•р/,

д*г* I

0р

^Д

п

3 2 0 Д

,

,,

у

дх*

‘ 1/sPF

aji

Яг (*> 0>

У

dx^dt'1

‘

г

Qt'i

а/3

<Э%,

а4бд

а20

(3.26)

— yfiP

•д

ю

сЦ4

■GI.d

ах2

df2

— Р7Г.

а‘9д

+

rip/7

азе.д

= /Лл (*,

t).

‘ СО д х * д Р "

1 ' 1Г‘

а /2

Здесь г/5 — расстояние между

центром масс Ох и центром изгиба

О поперечного

сечения стержня

(рис. 34); Е , G —

модули упру­

Г,

гости при растяжении и сдвиге; р —

плотность

материала

стержня;

о

G ld — жесткость

на

кручение;

fy-vt ^в

Ъ'т7

2Д(х, t) — поперечное перемещение

стержня

в

направлении

оси

z;

9д

(* .

0 —

угловое

перемещение

относительно

центра

изгиба;

t

—

время,

отсчет

которого

ведется

с момента входа груза на стержень;

C*i

Т7 I p j F ,

I y t I p

И

i

со "

соответ-

ственно осевой,

полярный и сектор­

ный моменты

инерции.

Решение уравнений (3.26) нахо­

□

дим при начальных условиях,соот­

ft

ветствующих стержню, неподвиж­

>

ному в момент входа груза,

и крае­

вых условиях, отвечающих выбран­

Ув

ному виду закрепления концов.

Уг

Для стержня с шарнирным опира-

нием и отсутствием угловых переме­

Рис.

34.

щений по краям прогибы и угловые

перемещения можно искать

в

виде

2д (х,

t) =

z0 2

qu

(0 Sin

=

Z0z (X,

t),

(3.27)

i*=1

9д (х,

t)

=

е0У ] q2i (t) sin

=

e0e (x, t).

Здесь

i=\

_

2p„p

Q _ Pnyql

0 ~

n4£/j, ’

1 5 7 7

Яг (х,

t ) = V 1

Hi (0sin -7^ •

1= 1

(3.28)

тА (*,

t) = Y,

L i (0 sin -

i=i

d*Qu

kiztfU

■х,

Hi (ip

dtf

dr]2

pFz0v2af

(3.29)

d%i

Pf (4)

"T Kidi]2i

dr]2

Л0 ■

dr]2

p/p60u2b?

( * = 1 ,

2,

. . . ),

il

=

vt,

v — скорость

движения массы

В 1

:ении (

Kiz

;2я

у

_

inc{

Y

f/s^o

x9 =

У$Нгп

а/а,-

aelbt

Л2

2

40

0о

2

h

zo

8a2r?

r,

— —F

di =

1

+

/vi2Ji2

bf =

/„г2л2

1 +

i2jr2£/ft

FF

1 + •

14D

c f =

~ Ш 7

‘

1

а также введены безразмерные параметры

Рр_

ав =

v ]/"- 9h_

(3.30)

РА (t),

El и

GId

Для

силы

движущейся

по

стержню

со

скоростью V,

и

/г\

2РД (0

•

t’Jttrf

Я,- (7) =

—

I

sin ■

I

^

(t) =

(t) yq

и уравнения

(3.29) примут вид

^29н

,

■X

d292«

п2Р (л')

.

гяг]

drf

"n

kizQii

dr]2

- sin—4

а 2 /2a?

(3.31)

d3?2t

+,

.2

y

* 4 и

1ЯТ]

8 P

(Л )

sin

(X =

1,

2,

... ).

drj

dr]2

/

qu (rj) =

Ay (b) cos ki2v\+

By (b) sinfcizT] +

Л

+

j P M sin

sin kt* (Л — *-) dX’

q2l (r|) =

b

(3.32)

A% (b) cos kiQT) +

B2i (b) sin kiQif\+

■n

+ - щ ^ & г $ p w sin - T ^ sin k«• ^

dX’

где Ac, B t — произвольные

постоянные,

определяемые при усло­

вии, что для г) = b заданы

обобщенные

координаты и обобщенные

dzT

(rj — Ь) +

2Г (л) = zr Ф) + dr)

т)=Ь

+

Jt2

(3.33)

4/2а 2£

"

ь

р = P0/Fplg.

где zr = 2д г/г0,

контактной силы Рд мо­

Неизвестное

значение динамической

2д.г (0 — гд.п (х, t) — zh(х, t) =

а с (х,

t),

(3.34)

где

а с = k [Рд (t)]q — контактное

сближение

груза

и стерж­

ня

согласно обобщенной теории

Герца

(k и q — коэффициенты,

тактирующей кинематической паре;

гдг определяется из выражения

(3.33); 2д.п = 2Д + 0дг/9. Значения

гд, 0Д находятся в зависимости

биваем

интервал,

соответствующий

времени

прохождения груза

по пролету, на п равных участков длиной т =

//я. Полагаем неиз­

вестную

динамическую

реакцию

постоянной

в пределах участка

Р л (П) =

Р т_|]

при ягт <

г; <

ягт +

т. Выносим за знак интегра­

ла постоянное

на

участке значение

силы и вычисляем

интегралы

в выражениях (3.32), (3.33). Принимаем

Ъ =

тх, а т] =

тх + х и

вводим

обозначения

М2(г, т) = q u {тх),

N*V>m')=

ktz

dlhi

а ,

т]=тт

7Ие (г,

т) = q2i (тх),

NB (г,

т)

1

d%i

(3.35)

km

dr)

r)=mx

Q (т) = zr {тх),

R {m)

dzr

dr\

r \ = m x

ные формулы

-

М2(г, т + 1) = Мг (г, т) cz (г) + Nz (г, т) sz (г) +

+

т+1

sm

in (т +

1)

ащ sz (г) cos

mm

i2 (t2 — a*af)

i

п

i.ч .

131/71

■

— С* (О sin —

Nz (г, яг + 1) = ЛД (г, яг) с2 (г) — М2 (г, яг) s2 (г) +

т+ 1

аа,-

ш (m +

1)

i2 (i2 — а2а?)

—-L-Cos----------5— -

I

п

аAUл ,г

inm

-7— Сг (О COS'

п

+

s2 (0 sin-

MB {i,

т +

1) =

Me {i,

m) cB (/) + ЛД (г, яг) se (г) +

т-\-\

cos

г'я (m - f 1)

-------

------ ------- -

а вЬ‘

/-v

inm , „

/л •

mm

------ —

Cfl (0 cos —----- L Se

(г) sin ——

Q (m +

1) =

Q (m) + R (m) +

4аа[5гг2 ■(1 — Pm+1).

P (m + 1) — R (m ) H 2а2ря2 ^

где

ГЯ

г'2я

cz (i) =

cos

sz (i) =

sin ■

а гщ

ana;

c0 (i) =

cos

mc{

Sfi(0 = sin

/

-А

intif

. г'ях

*»<*■

' 1 -

1 ®

I - J 7

J

Sin ---:--- Sin ----- —

1=1

(г2 — a 2a?)

аа.1

г‘2яи^ . гях

г3 (г2 — <х2аф

Sin--- :--- sin—r—

cdai

0

(x

f) —

2Р«Уч1

lb

г'яо? . гях

°

Д

GIdtf

Sin--- :

Sin—:

г=1

00

_ V

a e bi

■Sin-

гяс(у/ sin-

«<*(*?-«§&?)

a^lbi

положим в уравнении совместности (3.34)

zH= а с =

0.

Тогда ус­

ловие совместности примет

вид

2д.г On) =

2д (ц, Г)) +

0д (Ц,

щ) yq

или

2Г (Т)) = 2 (т), Т]) + уч

0 (Т1, ц).

Окончательно, на основании (3.27) и (3.35), получим

Q (т 1) = 2

Mz (г, т +

1) sin

г'я (т +

1)

+

г=1

)2 гг*г/А

«

00

. ш (m +

I)

(3.37)

я

^

+

в{1' т + 1 ) 5 Ш

я