Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

По теореме о среднем значении выносим Р (т]) и ps (л) за знак инте­ грала. Уравнения (3.44), (3.45) принимают вид

<7; (Л) =

 

IA

(Ь) cos л(г) +

B t ф) sin г^]

+

 

-лщ

 

 

■

 

 

i

 

 

 

 

 

(3.46)

+

 

а2/2

( а д

 

+

Е

Р »

sin

/,

 

 

 

d q i (Т 1)

_

- Л ; Я

 

Ф) (cos Г£Г|—

77" sin г,-Tij —

 

dii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л; ф) [sin rtx\+

 

cos /ут]

,

 

e~hW

Л2

р

(/

hi

 

 

+

 

 

“а2/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Й£Л

 

я2

v

sm

«яis „

 

 

2-ф

 

+

а2/2

s=l

 

1

V‘'Ср (/.

—

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/х =

f ehiXsin

 

sin г,- (г| — Я,) с£Я,,

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/2 =

j

eA|* sinrt- (ti —

X,) dA,,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.47)

/3 =

j ehiXsin

 

cos r

(r] — A,) dX,

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произвольные

т) = b заданы

At ф) = ehib

h= \ eh‘x cos r £ (r) — X) dX. b

постоянные определяются из

условия, что для

qt (b) и dqi

 

 

dr) 1п=й’

 

qt ф) (cos r p —

sin r{bj —

sin rtb

 

 

ri=b

5 t (b) „hib 4i sin r p + -y~ cos r£b) + 4=b cos r £d

Подставив значения постоянных в систему (3.46), получим общее решение в виде

qt (т|) = е

hi{ri

Ь){? ( ф) [ cos г, (т] - b ) + - ^ ~

sin г( (г] — Ь)

+

 

 

1

dqi

 

(3.48)

 

 

+

dr| Л=6 Sin Г (л — ь)} ’

 

 

+

ф -

= -

г -“и'

ВjЧ, И sin г,(, -

6) (1 + -| -)

+

 

'7 T sin'‘i(n — Ч — c°s о (Л — ч ]} ■

 

125

Вычислив интегралы (3.47), получим

Л

„ 2

„2

nihi cos

t3tfcos r{ (т] — b) x

mi — П1

 

 

 

 

 

X ehib — лД cos

 

— /пД- sin

sin r, (r) — 6) X

x еЛ/6 _]_ jjhHL _

п,г,) cos

sin г,- (т] — Ь) X

X

+

(m,r, -

 

sin -i^L

x

 

X еЛ/11— [ т /

1 -----sin

cos rt (t] —

,лгг>

fc) e

12 =

о ‘

j - 1г,еЛгТ1 — r / ib cos r( (ti —

b)

 

ftr +

'f

 

 

 

 

 

— htehibsin /у (ti — &)],

 

 

 

/» =

mi — nf

е^/пД sin

 

 

 

 

 

 

 

— ehibmihl sin

l

cos rt (ti — b) —

 

- ehibnihi

miin.

cos —f —sin rt (ti — b) — l

„ , ) «М „no t-ItTl + co s-^ f

+

еЛ'Ь (-^ p - — nsi'] cos

inb

cos гг (tj — b)

+

 

 

+

ehib (т/ г — ^

- \

sin -^ p - sinr£ (tj — b)

 

 

 

h

=

1.2

,Vi

- hleh‘b cos гг (ti — b) +

rcehib sin r£ (t) — £»)],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.49)

 

 

_

 

, 2

,

/2я 2

.

2

 

2/'яг£

 

 

 

Щ = к - \

----- —

+

r£.

«i = — p - •

 

Положим ti

= /пт + т ,

6 =

/пт, n =

Ijx и введем следующие обо-

значения:

 

 

 

 

 

 

 

1

4?i

 

 

 

М (г,

/п) = <7,- (/пт),

 

iV (г, /п) =

 

 

 

 

----- -г---------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т {

1Т|=тт

 

е (0

=

ехР \-

;4я2

£ \

s (i) — sm

рлгИ

,

12ЯГ,г

с (г) =

cos------—

 

 

\

2а2

Iяt

I

 

 

 

OV/Cал-

 

' 1

CAr/frап

Обозначим также

Рср и pscp

на участке /пт <

т) < ; /пт + т соот­

ветственно Р ш+1 и pSi m+1. Тогда, полученные из (3.46) рекуррентные

126

формулы для определения обобщенных координат в зависимости от неизвестных Рт+\ и pSi m+1 примут вид

 

 

 

 

 

 

.

 

г'2лС

....

+ N (г, т) s (г)| +

М (г, т + 1) = е (г) | М (г, т) С (0 +

 

 

s (О

 

 

 

 

 

 

 

 

2агИ

 

 

 

 

 

 

 

 

Рт+1 (<2 - « 2)

 

 

i3n l

 

с (г) е (г) cos

 

 

 

 

+

~г2 [(г2 +

ос2)2 — 4 а 2('2^ ]

 

£2 — а2

 

я

 

 

 

£я (т -f-

1)

г/2я (г2 +

а 2)

s (г) е (i) sin

inm

 

 

 

-COS

 

2 а ( £ 2 — а 2)

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2

 

а 2)

 

 

 

г'ят

 

 

 

 

 

 

 

1Гч (г2 — а ‘‘

 

•s (г) е (t) cos—------|-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

+

sin

in (т +

1)

 

■с (г) е (г) sin

/ят

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

]

 

 

 

[ l -----s (t) e (t) -

 

e (г) с (г)],

 

 

 

1 V

 

i n

 

 

( 3 . 5 0 )

 

Ps.m+l

Sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = 1

 

 

 

e (i) \

м (г,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JV (*, m + 1) =

—

m) s (i) - i -

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

+

N (i, m)

 

 

S (t) — C (l)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 a r i t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

m + l (i2 — a 2)

 

 

 

 

ai2nt

■c (i) e

(t) sin

 

i2 [(t2 + a 2)2 — 4/2aV?^] \

 

 

 

 

 

 

 

ri£ (г2 — a2)

 

 

 

 

 

 

 

int (£2 +- a 2)

... ...

 

inm

 

 

 

ae(i')

 

 

mm

(-

 

-

'--s(i)e(t) cos — ------ C (l)

nr-2- cos

 

-

 

 

2r?s (i2 — a 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2(;2~ .Г 2)

 

s (о* (osin

 

 

+

 

££2я а

 

 

 

in (m 4- 1) .

 

 

 

гц C2 -

a2)

Sin-----2— !— — +

2 (i2 — a 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

a

in (m -+ 1)

 

+

e(i)s(i)

У

P s , m+l sm

ints

 

— cos---- 2— 1— -

 

pr~-r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4*4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘ ь

S — 1

 

 

 

 

 

 

 

В качестве упрощенной расчетной схемы движения железно­ дорожного вагона или автомобиля по многопролетному балочному

мосту можно принять схему, пока­

 

 

занную на рис. 36. Смещение цент­

 

 

ра тяжести

подрессоренного груза

 

 

массой Мп относительно

системы

■ О v_^

 

координат,

связанной

с

недефор-

X

 

мированной

рессорой,

обозначим д -

Я т}.77

7^7

2Дп (/). Перемещение центра тяжес­

_L

 

ти неподрессоренного груза отно­

 

 

сительно системы координат, свя­

 

 

занной с недоформированной бал-

Рис.

36.

127

кой, обозначим гд.г (/). Движение подрессоренной массы опреде­ ляется действием силы веса Рп и реакции рессоры, коэффициент жесткости которой сп, коэффициент вязкого сопротивления

 

<Рг

dz

^гдд

+ Сп (2д.п — 2д.г) — Р п. (3 .5 1 )

М п

Д -п

'Д -п

dt2

+ Г1! (■ dt

dt

Уравнение движения неподрессоренного груза включает в себя кроме реакции рессоры и силы веса Р Г силу реакции балки PA(t)\

W сРгд-г

и

( dZp~M

&я'г 1

с ("

■» ) — р

— Р (t)

— ^ 1 ---------- И- i l

dt

dt j

с п 1 г д.п

—

\l).

(3.52)

Представим решение системы (3.51), (3.52) суммой статических и динамических перемещений:

2д.п — 202in “Ь 2о2п»

2д.г

2021г “Ь 2о2г»

(3.53)

где

2Рг13

 

 

 

 

 

Zo ~

к1Е1

'

 

z0 — перемещение подрессоренного груза в результате осадки рессоры под действием силы веса; 20 zlr — статическое перемещение неподрессоренного груза в момент входа его на балку; zn, zr — безразмерные динамические перемещения грузов. Подставив (3.53) в уравнения колебаний и перейдя к переменной ц = vt, получим

"2Zn + M z n - Z r )

+ Hn/d2n

dr;2

 

dr\

Znv2

C T120

( у

n

' \z ln

 

P

 

dr]

 

dr]

dzr dr\

у \

(3 .5 4 )

ZirJ

dzr dr]

1 - ^ - + - ^ - ( г ш - 2 1г)

где

= Cng/PnV2,

= Cng / P rv\

Ип =

Иг = И1^/-РрУ-

Вес подрессоренного груза уравновешивается статической осадкой рессоры Рп = сп2„ (zln — zlr). Поэтому система (3.54) принимает вид

- +

К (2п —

 

 

dz„_____ dzr

\

^

2г) +

Ип I dr]

dr|

/

(3.55)

d2zr

* /

ч

 

 

 

 

Ит

dzn

dzr

i

 

(^П

2г) ~

dr]

d-r)

У

 

 

 

 

g

Z0O2 [1 + p — P(ri)],

128

где р = Р п/Р т, Р (г|) = Рд (у\)/Рг. Если в момент входа груза на балку левая опора принята жесткой и контактное сближение гру­

за и балки отсутствует, то 20zlr

=

0,

z0zln = Р п/сп. Если учитывать

контактную деформацию [балки

а с,

то

z0zlr — а с = z0^x (1 + р)4,

2„Z|n = z02in + P J c n, где kx =

kPl/Zo, k,

q — коэффициенты Герца.

Для решения системы (3.55)

приведем ее к каноническому виду:

+ К (2п — Д) + Гп (u — v) = О,

(3.56)

(гп — 2Г) — pr (u — v) = F (Т)),

где

ЕОп) = ДД2-11 + р — ^(л)].

Z qV

Общее решение (3.56) находим в виде

zn = y1e?-Ti, « =

2Г = у3е'-ч, ц = у4е^ч(

(3.57)

где у — фундаментальные решения; А — корни характеристиче­ ского уравнения А.4 + Xs (рп + pr) + X2 (k T + kn) = 0, являюще­ гося условием существования нетривиального решения системы уравнений форм колебаний

Цх — У2 = О,

К ъ+

(*■ +

Рп) у2 — К

ъ

Рп?4— = о,

^Уз —

У4 =

0.

 

(3.58)

 

 

— Ary4 — ргу2 + /ггу3 +

(X+

рг) у4 = 0.

Решениями характеристического уравнения являются кратные

корни А4 =

Х2 =

0

и комплексно-сопряженные

 

Аз,4 = —

рп +

рг

-J- i

U

(Рп +

Рг)2

— h1 ± irlt

2

 

 

4

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h, =

Рп +

Рг

 

2 *,2

 

= K

 

i = V ^ T .

2

 

 

T\ = k i ■ h i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фундаментальное решение, соответствующее кратному корню, на­ ходим в виде

zn = a 1 + a2r\, u = bx + b2r\, zr = сх + с2т], v = d4 + d2т].

(3.59)

Подставляя (3.59) в (3.56) и приравнивая коэффициенты при оди­ наковых степенях т], находим для совместных колебаний (как твер-

9 3- 2925

129

Смотрите также файлы