Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

К о л е б а н и я п л а с т и н

Уравнение колебаний нагруженной прямоугольной плиты, опер той по всему контуру (рис. 37) имеет вид

д%)

.

d*w

рh

d2w

 

q(x,

y, t)

(3.68)

~дх*

+ 2 дх2ду2

 

ТТ ~dF

 

 

D

 

 

 

 

 

 

где w (x, y,

t) — отклонение точки (x,

у) от положения равнове­

сия; рh — масса плиты,

отнесенная

к

единице

 

поверхности;

 

 

D =

Eh3

а

—

интенсивность

 

 

ттг-г,------я ;

 

 

 

12(1—-v)2 ’

’

 

 

 

 

 

 

внешней нагрузки.

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения (3.68) записы­

 

 

ваем в виде ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

с о

 

 

 

тпх

 

 

W

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2 ф/nn (t) sin „ X

 

 

 

 

m=1/i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

X

sin

плу

 

 

(3.69)

Рис. 37.

 

? - 2

2

т

п

где w0

=

4Р 0р1а 2/я4О , pj =

a/b, P 0 —

вес груза,

перемещающегося по плас­

тинке.

Разлагаем внешнюю

нагрузку

в ряд:

 

 

 

</) sin

и

sin S Sи L -

(3.70)

Для сосредоточенной силы динамического давления Рк, возникаю­ щего в точке контакта груза и пластины,

,,,

4РД

. mnvxt

. nnvut

Н,™ w = ~ ± ~ sm — г ~ 51П — f -

где vx, vy — составляющие

скорости

перемещения подвижной

массы. Подставив разложения (3.69) и (3.70) в уравнение колеба­

ний и положив г\=

vxt, получим уравнение относительно обобщен­

ных координат ц>тп:

 

 

 

тп (Т|)

 

 

йц2

' “Ь ^тпфт/г (л)

 

Р (Т)) я2

sm тя?|

/гяг)|л2

а2а2 (1 + Pi)2

 

где

 

 

 

 

л т 2 + " 2Р?

Р(У]) = ^ Ж

 

1 +

pf

•Л

а =

vxa У р h

И2 =

----- 7=

 

 

лУ О (1 + р2)

 

134

Интеграл уравнения имеет вид

 

 

фтп ('П) “ А-тп ('По) ^OS &тпТ\“Ь &тп (Но)

&тпЦ “f"

 

Г

тлк

птйлхуУх?

sin km„ (n — A,) dk

 

л \ Р (к) sin-------- sin--------------

 

J

a

a

 

 

_ i _

________________________________________________________________________________________________________

 

 

aa (m2 + n2ц^) (1 + Hi)

 

Если груз

движется

параллельно оси

х, то vy — 0 и выражение

для обобщенной координаты принимает вид

 

 

4>тп (л) — Атп (Ло) cos kmnr\+

Втп (л0) sin kmnx\+

 

л sin

 

Ч

 

 

+ ■aa (m2+ «Vi) i1 + Hi)

j" Р (X) sin - тлХ sin kmn (л — A,) dX,

rj„

 

 

где уг — координата

линии

действия

нагрузки.

Вынося среднее

значение коэффициента динамичности давлений Рср за знак инте­ грала, получаем

 

 

/ \

 

 

/

\

 

I

1

 

^<Ртп

■Smn +

 

фт п ( л ) — фт п (Ло) dm n

 

 

 

dTWi=r

 

 

плуф!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P c p sin

 

a

 

 

 

 

тлri

. тлrin

 

+ ■(,m2 +

и2(лj)2 — /n2a2 (1 +

H i)2

Sin—^

-----Sin----—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + m) та

^

 

 

тЩо

 

 

 

 

 

 

 

т2 + /г2ц2

Ътп

 

ЕЗо.1,

 

 

 

 

 

 

 

 

а

У

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sm n

— sin k m n

(т]

Ло)’

 

Сгпп

—

COS k.n-n

(Л

Ло)*

Разобьем промежуток

интегрирования

на участки длиной т = ajr

и обозначим Рср = Р к+1

при kx <

л <

kx +

т. Положив

 

 

 

 

М (ГП,

п,

k) = фmn (kx),

 

 

 

 

 

 

N (т,

п,

k)

=

 

 

dVmn (Л)

 

 

 

 

 

 

 

d\=kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим рекуррентные

формулы

 

 

 

 

 

 

 

 

М (т,

п, k +

l ) =

М (т,

п,

k) стп + N (т,

п,

k) smn - f

 

1 k+l

плу^

 

 

 

тл (k

1)

 

 

тлк

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

p* + iSin'

 

 

 

 

 

 

 

+

(т2+ n2Hi)3 — m2a2 (1 +

212

Sin

 

 

 

 

" Cmn Sin ■

 

h,)1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 4- Hi) ma

®яи COS

тлк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2 4- a2p,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (m,

n, k 4-

1) =

N (m, n,

k) cmn — M (m,

n,

k) smn - f

135

+

где

pk+\sin

nnyxV-x

 

' Щ (1

-f |Ij)

 

гая (ft + 1)

 

a

 

COS

(ma + п2Ц|)2 — m2a2 (1 +

M-i)2

m2 +

n2

 

 

 

ma (1 +

Ц])

COS

mrtft

+ Smn Sin - mnk

7

9

2

m3 + я2^|

 

 

 

 

 

я (m2 + n2|X[)

.... = cos-

Я (/Л2 -f- Л2|1[)

= sm-

(l +

p,2)ar

 

(l+(x|)ar

Вертикальная составляющая траектории груза определяется из уравнения

Ро

d?z„

=

P 0 — PR(t),

g

dt2

 

 

где Р д — динамическая

реакция

балки, равная силе давления

движущегося груза. Приняв гд.г =

w0zr, найдем

гг (11) =

гг (т)0) + J

Zr

(Л — По) +

" (Т1

_ Т1о)

- ( 1 - ^

с

 

dTlri=rb

Vl Ч0/

' 8a2p(l

+ M.?)2a2

 

где § =

P^JcP hpg.

При

т]0 =

kx,

т] =

kx + т,

Ргр =

Pk+i,

т) — % =

т = у получим

рекуррентные

соотношения, аналогич­

ные (3.7), для определения на каждом шаге вертикальной состав­ ляющей траектории груза:

 

Q ( k + l) =

Q(k) +

R(k) +

8a2f5r3 (1 +

м|)3

(1 — Pk+l),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ' k + l ) ^ R ( k )

4 a 2pr2 (1 +

fxf)2

(1 — Pk+1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Q (k) =

zr (kx),

R (k) = т

dz,

 

Условие

пересечения

dr\

ti=*t

 

 

 

 

 

траектории

груза

с

поверхностью

пластины

принимает

вид

 

 

 

2Г (л) =

2

2 фт п

(Л) sin -253L sin

b

 

(3.71)

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

или в приведенных выше обозначениях для г] =

kx +

т

 

 

Q (k +

1) = 2

2

М {tn, п, k +

1) sin

OTTI(fe+

Ч . sin

ПЩхУ-х .

 

 

 

т

п

 

 

 

 

 

г

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.71а)

Из

этого

условия

определяются

Рт+ ь

обобщенные

координаты

Фотп (л) и прогибы w.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вертикальную скорость груза при х\ = kx обозначим

vz. Тогда

 

 

 

 

 

a 2 {kx) =

vz (kx) а У ph

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я Y d (i +

Hi)2

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

136

Значение а 2 может быть найдено в процессе вычислений:

a z (kx) =

4а3{5/-(1 Н Нч)

R № ,

 

 

 

я2уд

 

 

 

Уд =

v2/ag.

 

 

При косом ударе вертикальная

v2 и горизонтальная v

составляю­

щие скорости соударения заданы. По v2 определяется

R (0). Да­

лее расчет ведется по приведенной выше

схеме.

 

В качестве примера расчета рассмотрим пластину (см. рис. 37) размерами а = 200 см, b = 100 см, h = 2 см. Примем а = 0,75, Р = 0,25. Груз двигается параллельно оси х вдоль оси симметрии. В разложениях (3.69) удерживаем 30 членов ряда по т и 11 членов ряда по п, соответствующих нечетным гармоникам. Интервал ин­ тегрирования разобьем на 200 участков.

При расчетах используем условие (3.71), дополненное учетом,

контактных деформаций и неровностей аналогично (2.94):

 

Q ( k + 1) - I > ' Z M ( m ,

п, k-\- 1)sin

mJt(* + 1 )

s i n ^ ^

-----

m n

 

 

 

 

— zH(kx + t ) — kxP k+lq + Zt

= 0,

213,

 

причем zx = kx = kP 4T/w0,

w0 = 0,176

см и примем kx =

0,00242.

Рассмотрим пластину с синусоидальной вогнутой неровностью1 глубиной 0,2 см и протяженностью 20 см и сопоставим несколько

случаев: 1) неровность лежит в

интервале 0,2 < ; г\/1 <

0,3; 2) не­

ровность находится в интервале

0,45 <

г\/1 < ; 0,55;

3)

неровность

лежит в интервале 0,7 < r\jl <

0,8; 4)

пластина без

неровностей.

Обозначим шСт = 0,0496 w0 наибольший

статический

прогиб пла­

стины под действием массы, покоящейся посередине. Сопостав­ ление динамических коэффициентов Wi = w/wcr в сечении х = а / 2

для случая 1 (wx= 1,40), случая 2 ( щ = 1,38) и случая 3

(wx—

= 1,31) с динамическим коэффициентом для случая 4 (wx =

1,30)

свидетельствует о некотором увеличении максимальных динами­ ческих прогибов при неровной поверхности. Расчеты, проведен­ ные для случая 4, показали, что прогибы увеличиваются вместе со скоростью, достигают наибольшего значения и далее снижаются

(при а = 0,25 Ш1= 1,55, при а = 0,5

a>i = l,52). При

а = 0,75

в

случае 1 груз совершает три отскока,

в случаях 2 и 3 — два и

в

случае 4 — один отскок. Первое нарушение контакта

между

грузом и пластиной происходит при входе на неровность, а после каждого соударения наблюдается скачок динамического давле­ ния (Р = 4 -у 8). Перед сходом с пластины груз, соударяясь с пластиной (г)/а = 0,9), вызывает резкий всплеск динамического давления. Напряжения в пластине можно определить, если счи­ тать, что контактная сила распределена по малой площадке [50].

Г л а в а ч е т в е р т а я

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ ТУРБОАГРЕГАТОВ

ПРИ ВНЕЗАПНОМ КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ ГЕНЕРАТОРА

Колебания системы вал— диск — лопатки

В связи с возрастанием единичных мощностей, вопросы надежной работы агрегатов приобретают первостепенное значение. Тщательно изучаются вопросы динамической прочности деталей и элементов турбоагрегатов как в рабочих режимах, так и в аварийных, каким, например, является короткое замыкание (к. з.) генератора. Режим

к. з.— один из наиболее

опасных

с точки зрения воздействия

на систему роторов. При

к. з. на

бочку ротора генератора начи­

нает действовать внезапно приложенный переменный во времени электродинамический крутящий момент [4,6], амплитудное значе­ ние которого в несколько раз превышает номинальное. Этот мо­ мент является источником возникновения интенсивных крутиль­ ных колебаний всей системы роторов, которые с течением времени быстро затухают вследствие внешнего и внутреннего сопротивлений в механической системе и вследствие затуханий токов к. з. Несмот­ ря на кратковременность режима в валопроводе и рабочих лопат­ ках роторов могут развиваться значительные внутренние усилия.

Возможности экспериментального изучения этой задачи огра­ ничены из-за сложности явления, поэтому теоретическое исследо­ вание на основе расчета является важнейшим способом ее изучения.

Для определения напряженного состояния валопроводов тур­ боагрегатов в рассматриваемом режиме существуют методы, рас­ четная схема которых не учитывает податливости лопаток и дисков [6]. Эти методы позволяют достаточно надежно определять напря­ жения в валопроводах любых агрегатов. Однако в тех случаях, когда роторы турбин имеют рабочие лопатки большой длины, соб­ ственные частоты которых достаточно низки и приближаются к частотам крутящего электродинамического момента, возникает необходимость рассчитывать наряду с валопроводом и рабочие лопатки, поскольку в них возможно развитие опасных напряжений. Приближенная оценка напряжений в рабочих лопатках в рассмат­ риваемом режиме может быть выполнена методом, изложенным в работе [22]. Этот метод не учитывает связанности колебаний ло­ паток и вала.

Впервые задача о совместных колебаниях вала и лопаток ро­ тора в неустановившемся режиме, вызванном к. з. генератора, решена в работе [4]. При решении предполагалось отсутствие зату­ ханий токов к. з. и сопротивлений в механической системе. Вы­

138

Смотрите также файлы