Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Aai =

V 2 + (Si Л- h2) —

(g2—■q2) ■ v2 2

ф2 —

— (2рц — & i~ Y^i) Фь

А 22 —

(Pp — К ) V2 + (Ppga — й2 +

<7а)

— Ы

2 + Рг)

—2

0й

ф2— *PvSi — 2Рр + Y^I —^Y^i^Pi-

— (Р(Х — Рр + Ы и2

я*

Выбрав параметры так, что

Ац = (р». — рР + ёс)А п

(i =

l, 2),

(1.115)

уравнение (1.113) перепишем в виде:

Y [V Дц + iz (Рр —■Рр + Si) A il +

V

x

f . e ^ - 1-

■К (Рр — Р р 4

дА~

=

0 .

(1.116)

Si)

дг

После умножения (1.116) на v2 =

(Я4 2м-)'

= ~

= Рр

ц/р и учета ~ Х + ^ Г -

это уравнение сводится к виду

/r’V M A i ; +

/r‘V X [khv\ ^

- )

= 0.

(1.117)

Векторная функция

(1.110) удовлетворяет

(1.117) в том слу­

чае, если фц ф2 определены из системы скалярных уравнений

А п =

7 \

(cpi) —

y ~ %

R

(Ф а)

=

0 .

Здесь

Ац — (ф2) ■ -т]1Ф1 = 0.

T t = Vt + {gt + hl) ^

+

(g'l - q

l) - u p - ^ -

( ; = ! ,

2),

(1.118а)

% = 2рр — g i — yhlt

% = 2Рр — Yg'a— йа,

(1.П86)

Рц — Л< = Рр — Pp + ft

(i = l , 2 ) .

(Рр — hd (gi +

hi) = P\igi — hi + <7i

(t = 1, 2),

(Pp — hi) (gi — qt) ■=Ppg'i + qi

(i = 1, 2),

(1.119)

(Pp — h^ (2pll

yg2— h2) = — (Y — 2) Ppg-2— 2рц 4-ho 4- qt,

(Pp —

h2) ( 2 -

- g, - - 7 ftj) =

P\igi — 2pp + yAi 4- Y<7i-

После

замены

переменных

/п,-

( i = l , 2)

( 1. 120)

Р

я 9 - Ю 2 5

33

т г = - { г ( - & + Рр)

(i = s l . 2).

(1Л20а)

6г =

т :

(г

=

1,

2),

(1.1206)

(т: + ррт г — р -'р mf)' =

0

(г =

1, 2),

(1.120в)

2уот, + (2рр — рр) т 2 — (2р^ — урр)

—

— (Y— l)H .-1pm1m2 — 2 (р р -'р /

=

0,

(1.120т)

2т ; — (2рй — рр) т2 +

(2рр — урр) т1 +

+ (У— l)p _ 1pmim2 — гСрр-’р^)' =

0 .

(1 .120д)

Из уравнений (1.120в) после интегрирования получим

m'i + ррщ — p-'pm? =

В,

(i =

l,

2),

(1.121)

где

В, — постоянные

интегрирования.

Если

учесть

тождество

(у — 1) тхт2 =

ут\ — т \~ (утх +

т 2) {тх— т 2),

(1.122)

то уравнения (1. 121) примут вид

(у— 1) |х_ 1р т гт 2 = у (т\ + рртх) — (т'2 + ррт 2) —

— р~‘р (у т х + т 2) ( т х — т 2) — (yBj^ — В 2).

(1.123)

С учетом (1.122) уравнения (1.120г) и (1.120д) сводятся к виду

(ymi + Щ — 2рр~1Р|х)' =

0,

(1.123а)

{тх_

т2) [2рй— р -'р (ут1 +

т2)} — (уВ х — В2) =

0.

(1.1236)

Из

(1.123а)

имеем

уml + т 2 = 2Fx.

(1.124)

Здесь

Fx = цр1рй — А,

(1.125)

где

А — постоянная

интегрирования.

Учитывая

(1.124), для

(1.1236) получаем

2Лр_1р (т 1— Щ) = У^1 — 5 2.

(1.126)

Уравнения

(1.124)

и

(1.126)

являются

интегралами

системы

(1. 120г) и ( 1. 120д) при

условии,

что уравнение (1. 121) удовлетво­

ряется. Вместо уравнений (1.120г)

и (1.120д)

можно записать

(УЩ + т2У + Рр (уЩ + Щ) — Р - 1 Р {ут\ + т %) =

= уВх +

В 2,

(1.127)

(тг —■т2)’ + рр ( т х — т 2) ■— р-1 р {т\— пф =

В1 — В2. (1.127а)

Используя

(1.124),

из уравнения

(1.127)

получим

р - ’р (ут^ +

пф =

2F2,

(1.128)

где

F2 = F\ + p / ,— f (У8 , + B2).

(U 29)

Из уравнений (1.124)

и (1.128)

находим

m i =

2 (у +

1)

(F1 ± йрр

),

^ 120^

Здесь

Щ =

2 (у +

I)-1

(Fx =f уйрр-1).

2уЙ2 = (р -'р )2 [(у +

1) Р Р -1^ -

2F\] =

= I(Y + 1

р'ц +

(Y— 1) Рр + Л р -‘р (4Рд — (У +

1) PpJ —

— 2 (Л р -‘р)2----- 2~ (V +

1) (Y^i

+ В2) р -'р .

VI.

Рассмотрим

частные

случаи.

Случай

I:

В2^

(1.132)

Y^i

0 .

Из уравнений

(1.124),

(1.126)

находим

Щ. =

2 (у +

I)-1 (Fx + С рр-1),

(1.133)

где

mi =

2 ( Y

+ i r I (F i- v C p p “ ,)I

С = "4Д- (уВ1— В 2).

Сопоставив (1.133)

и (1.130), получим дифференциальное уравнение

Й2 =

С2.

(1.134)

Подставляя

(1.130)

в (1.127а)

и используя

(1.126),

находим

урав­

нение

(у +

1) й ' + (у — 3) рцй ±

3= [*2 (у —

1) й 2-----^ (У +

1) (Bi — В.) р -'р

=

0.

(1,135)

С учетом (1.134) вместо (1.135)

можно написать

(У — 3) рц---- y

С~1

(В1— уВ2) р_1р — 2 (у — 1) С =

0.

(1.136)

Условия

(1.115),

которые наложены на формулы (1.114),

выпол­

няются, если структурные параметры являются решением

урав­

нений (1.134), (1.135) или (1.136).

Случай

II:

уВ1— В 2 =

0.

(1.137)

Уравнение

(1.126) удовлетворяется,

если

или

Л =

0

(1.138)

т1 = т2 =

т.

(1.139^

3*

35

Для случая 2 из (1.130) получим

m = 2 (Y +

i r 1 F1,

(1.141)

й =

0.

(1.142)

Уравнения (1.121) в этом случае

тождественны

и, следовательно,

В 2 = В .2 = 0, что следует

из (1.137). Система (1.121) сводится к

одному уравнению

т! +

ррт — р - ’р т 2 = 0.

(1.143)

И-. Р. Г-

,

,

о

(1.144)

F'i + pPF1— 2 (у +

1)_

p“ ‘pFi = 0.

Для случая 3 уравнения (1.143)

и (1.144)

сводятся

к виду

(у+1)р "р = 2р'2.

(1.145)

^

= v2 +

F p4 + Р'р - (Л) + яд - °Г2-§Г ( * =1. 2) . 1( . 146)

Для

функций

связи

Г]1 =

2рц — Рр — (Y— 1)Й1,

t]2 =

(1.147)

2pli — ypp + ( y — l)h 2.

= 2

(7 + 1) ’ [рц— Лр 'р±Й],

Лг = 2

(1.148)

(y + I)-1 [Рц— Лр1р=РТй Ь

(Y + 1) V“ 'il2 - 4 Рц — (y + 1)P p 3= 2 (у — 1 ) ^ —•

— 2y-1 (y — 1) Лр1р.

(1.149)

А = 0,

(1.150)

± 2 (у— 1)й = 4рц — (y + 1)Pp-

(1.150а)

Ар = р' + - i- (у + 1) (k + J

р- 1<*г)-1 ,

(1.151)

где k — const.

Уравнение (1.144) имеет также особое

решение:

При р = Я, у = 3 из уравнения (1.136)

находим

£

8С2

=

А

(1.152)

Р

— ЗВ2

где D — постоянная.

Если подставить (1.152) в уравнение

Q2 = С2, то получим

дифференциальное

уравнение

Ч +

Рн- " 2 =

0’

( !.! 53)

где рц = р'/р, я2 =

АЮ2 -J- (3Вг -f- В 2) D — 3С2. Из уравнения (1.153)

находим

,, пг

Р =

Ро ch2 — .

метры Ламе изменяются по

закону

Я =

р = р0 ch2 mz,

(1.154\