Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Функции, преобразования, операторы

101

Отметим, что множество значений линейного опе­ ратора также является линейным подпространством.

О п р е д е л е н и е 3.2. Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произ­ ведении пространств Я, X #2> образованное по правилу

G(T) = {(x, Тх): x <e=D(T)},

где {х, Тх) <ее Я, X Н2.

Зададим в Я[ X Л2 скалярное произведение

[(*1> Уі)> (Х2> — 1>Х2І\ Ч- [Уь ^2І2>

где [ , ]і и [ , ]2 — скалярные произведения в Я, и Я2 соответственно. Относительно этого скалярного произ­ ведения пространство Н{X # 2. очевидно, полно (и се­ парабельно, если сепарабельны Я, и Я2). Это гильбер­ тово пространство мы будем обозначать через Я3.

О п р е д е л е н и е 3.3. Линейное преобразование Т на­ зывается замкнутым, если его график замкнут в Я3. По-другому замкнутость оператора Т молено опреде­

лить так:

пусть xn^D (T ), хп->х и Тхп->у. Тогда х е

е D(T) и

Тх = у.

Важность замкнутых операторов объясняется тем, что, как правило, дифференциальные операторы зам­ кнуты.

О п р е д е л е н и е

3.4. Линейное

преобразование Т

называется ограниченным, если D — H, и

s u p II г*II

М < ОО .

 

Их II

 

 

О п р е д е л е н и е

3.5. Нормой линейного ограничен­

ного преобразования

Т называется

число

II Т || = s u p

II г*И

 

 

 

Их В '

 

Линейное преобразование ограничено, если оно не­ прерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

О п р е д е л е н и е

3.6. Пусть Т — линейный ограни­

ченный оператор из Я(

в Я?. Оператор V (определенней1

102 Глава 3

в Я? и принимающий значения из Я,) называется

сопряженным к

Т, если Т*х = у

тогда и только тогда,

когда найдется такой вектор у,

что [у, z ] = [х,

Tz] для

любого г е Я , ,

где скалярные

произведения

вычи­

сляются в соответствующих пространствах.

Ясно, что оператор Т* линеен и областью его опре­ деления служит все пространство Я2; поскольку [х, Tz]2 задает непрерывный линейный функционал на Н1 и

то

 

и х , t z ]2II <

і і

г

im * im г и,

 

 

II Гх II <11

Г НИ*II.

 

 

 

 

Если

оператор Т не ограничен,

но область его опре­

деления плотна, то еще сохраняется возможность

опре­

делить сопряженный оператор.

В этом случае x e D ( f )

и Т х — у тогда и только тогда,

когда найдется

такой

вектор у,

что [у, z] = [x, Tz] для любого z ^D ( T ) .

Ясно,

что оператор

Т* замкнут и линеен и область его опре­

деления

не пуста.

 

 

 

 

Пусть Я] =

Я2 = Я. Тогда можно показать, что, если

оператор

Т замкнут и область его определения плотна,

оператор

Т* также замкнут

и область его определения

также плотна.

Действительно,

если бы область

опре­

деления оператора Т* была не плотной, то нашелся бы

элемент Л е Я , ортогональный к D(T'). Далее,

график

G (7”)

оператора Т* есть не что иное, как ортогональное

дополнение в Я3 подпространства

 

 

 

 

 

 

 

 

0(7*) = {(— Тх, х): xe=D(T)}.

 

 

Подпространство G(T)

замкнуто,

так как замкнут опе­

ратор

Т.

Поэтому ортогональное

дополнение

к 0(7”)

в

точности

совпадает

с

G(T).

Рассмотрим

элемент

(h,

0) е

Я3.

Очевидно, что он ортогонален

каждому

элементу из G(T') и, следовательно, должен принадле­

жать G (T),

что невозможно, если І іф

0.

Я і = Я2 и

 

Будем

по-прежнему предполагать,

что

Т — замкнутый оператор

с плотной областью

опреде­

ления. Заметим, что в этом случае G(T) является

Гңльбертовым пространством. Для

фиксированного оде.

Функции, преобразования, операторы

103

мента г е й

зададим

линейный функционал

на G(T)

равенством

L((y,

Tij)) = [z, у].

 

Поскольку

 

 

 

 

I L(y,

1^11 2 ІПг/ II ^ II z 11(11 у 1+ II Ту II),

 

этот функционал непрерывен на G{T), и по теореме Рисса о представлении существует такой элемент x^D(T),

что для каждого у е

D (Т)

 

 

 

 

 

или

 

[г, у] = [х, у] + [Тх, Ту],

 

 

 

 

z — х = Т’Тх,

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

х-\~ T*Tx = z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

определить

теперь

линейное

преобразование L

из Я

в Я равенством

L(z) — x,

то

получим

 

 

[L (г), L (г)] = [х, х] ^

[х + Т'Тх,

х + Т'Тх] =

[z,

z],

так что преобразование L ограничено и ||L ||^ 1 . Кроме

того,

равенство

 

 

х +

T*Tx = z

 

 

 

 

означает, что

 

 

 

 

 

 

 

L =

( / + Т*Т)~\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

оператор

/ +

Т'Т

имеет ограниченный обратный,

и этот обратный положительно определен, ибо для х ф 0

 

[Lz, z] — [х, z] =

[z, х] = [х, х] +

[Тх, Тх] >

0.

 

Оператор называется самосопряженным, если он

равен

своему сопряженному.

 

 

 

 

 

П р и м е р

3.1.

 

О п е р а т о р ,

 

с о п р я ж е н н ы й

к и н т е г р а л ь н о м у .

 

Пусть

Hl = L2(Dl)p

и

Я2 =

= Ь2(D2)q, где Я, — подмножество в Em, a Do — подмно­

жество в Еп.

Пусть М (t, s),

s е Dx, l e D2, означает

X р)-матрицу функций, для

которой

J

JII Af(f, s)|Fdl s |rf|/|<оо,

■Di Da

104

Глава 3

где d \s I — элементарный объем (лебегова мера). Тогда соотношения

Lf = g>

g{t)= J M(t, s)f(s)ds

D ,

задают ограниченное линейное преобразование L из Hi в Н2. Сопряженное к нему определяется функцией

 

f(s )=

j M{t, s)’ g(t)d\t |.

 

 

 

о,

 

 

 

В частности,

если D[— отрезок в Еп, т. е.

 

ßi = {s =

(si> s2,

 

sn)\ 0 < S | < 1 , 1=

1,

n},

а D2 — отрезок [0, 1],

то

L задается функцией

 

1

I

 

 

 

 

git) — { • ■•

j M(t, s,,

.

. sn)f (s,, s2l ....

s„)ds,

... dsn,

о0

асопряженное преобразование/,* определяется функцией

 

f(s )=

 

JI M{t,

s,, . .

sny g{t)dt.

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

З а д а ч а ‘3.1.

 

Пусть

(e„,

n

0} — полная

ортонор­

мальная последовательность

элементов из Н,

а линей­

ное преобразование А определяется

равенствами

 

 

 

Аеп = Уп en_„

 

 

 

 

 

Ае0== 0.

 

 

 

 

Другими словами, для любой конечной линейной

комбинации

 

 

 

 

 

 

 

 

/

N

\

N

 

 

N

_

 

а ( 2

/

)== 2

 

 

2

Q-k У k ^k—i’

\

0

0

 

 

1

 

 

Обозначим

через

 

D множество

всех элементов из Н,

со

 

для которых 2 [х> впТп <

т. е.

О

 

D = = jх: 2 [х, enf п < о о j .

Функции, преобразования, операторы

105

Для любого X из D положим

ОО00

А х = 2 [X, еп] Аеп= 2 [х, е„] Ѵ п еп~і-

ОI

Тогда преобразование А замкнуто, а область его опре­ деления D, очевидно, плотна в Я. Покажите, что для А’ справедливо соотношение

А * е п = Y n + 1 е п +1

 

и D(A) = D(A*). Найдите Л*Л, ЛЛ* и (/ +

Л*Л)_ |.

О п р е д е л е н и е 3.7. Пусть Т — замкнутое линейное

преобразование пространства Я в себя.

Комплексное

число X называется собственным значением преобразо­

вания Т, если найдется такой отличный

от нуля эле­

мент Xе Я, что

 

Тх — Хх.

 

При этом X называют собственным вектором преобра­ зования Г, соответствующим собственному значению X. Множество собственных значений преобразования назы­ вается его точечным спектром. Если комплексное число X не принадлежит точечному спектру преобразования Т,

то можно определить оператор (XI — Т)~1 (где / — то­ ждественное преобразование), полагая

( Х І - Т ) - ' у = х

(на множестве значений оператора XI — Т) тогда и только тогда, когда

у = Хх — Тх.

Определенный таким образом оператор (Я — Т)~1 зам­ кнут и линеен. Нас чаще всего будет интересовать си­

туация, когда оператор (XI — Г)-1 ограничен. Очевидно, что для этого необходимо, чтобы множеством значений оператора XI — Т было все пространство Я. Но самое замечательное при этом заключается в том, что для замкнутых операторов Т это условие оказывается и до­ статочным, и этим в значительной степени объясняется наш интерес к замкнутым операторам.

Смотрите также файлы