Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

106

Глава 3

Т е о р е м а

3.1. Пусть Т — замкнутый линейный опе­

ратор и число X не принадлежит его точечному спектру. Пусть множество значений оператора XI — Т совпадает

со всем пространством А. Тогда оператор

{XI — Т)~1

ограничен, т. е. для любого элемента і е Я

и некото­

рого числа М > 0

 

||(а/ - : г г Ч [ < м і и і .

 

Доказательство основано на так называемом прин­ ципе открытых отображений, представляющем собой один из центральных результатов функционального ана­ лиза (см., например, [8]). В дальнейшем мы часто будем пользоваться несколько более общим, чем теорема 3.1, результатом, также основанным на принципе открытых отображений: замкнутое линейное преобразование, область определения которого совпадает со всем про­ странством Н, ограничено (теорема о замкнутом гра­ фике).

З а д а ч а 3.2. Пусть

Т — ограниченный

линейный

оператор, А — замкнутый

линейный оператор

и область

определения оператора А содержит множество значений оператора Т. Тогда линейный оператор АТ также огра­ ничен.

Указание. Оператор АТ замкнут и областью его определения служит все пространство Н.

Опр е д е л е н и е 3.8. Множество комплексных чиселX, не являющихся собственными значениями оператора Т, для которых множество значений оператора XI — Г со­ впадает со всем пространством Я, называется резоль­ вентным мнолсеством оператора Т и обозначается р(Г).

Для Яе р ( Г )

оператор (Л/— Г)-1 обозначается через

R{X; Т) и называется резольвентой оператора Т.

Дополнение

резольвентного множества называют

спектром оператора, так что точечный спектр оператора является подмножеством его спектра.

П р и м е р 3.2. Пусть H = L2{0, 1), а D — класс функ­ ций, производные которых также принадлежат L2 {0, 1). Для / е D положим

T f = f%

Функции, преобразования, операторы

107

Тогда оператор Г замкнут, а область его определения плотна. Исследуем его резольвентное множество. Урав­ нение

Ч - Г = 0

означает, что

и el , G L 2(0, 1). Таким образом, все числа X принад­ лежат спектру оператора Г, а, значит, его резольвент­ ное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.

Т е о р е м а 3.2. Пусть Т — ограниченный оператор, отображающий Н в Н. Тогда если X > || Т ||, то І е р (Г).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если | X | > [| Т ||, то

І І Т І < > .

так что оператор (/ — ГД)-1 можно разложить в ряд Неймана

сходящийся по операторной норме:

р + т

fin+o

 

 

 

II тГ

■0 при

пт—>оо.

Я"

Я|"

 

 

m

 

 

 

Кроме того,

 

 

 

итеорема доказана.

Оп р е д е л е н и е 3.9. Ограниченный линейный опе­ ратор Г называется квазинильпотентным, если

грПц1/п_

0.

lim II Г

п

С л е д с т в и е 3.1. Пусть

Т — квазинильпотентный

оператор, отображающий Н

в Н, Тогда его спектру

108

 

 

Глава

3

 

 

 

 

 

принадлежит лишь начало

координат.

Более того,

для

X ф 0 ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

1I 1IL

 

 

 

 

 

 

 

 

І и

|Л|»

 

 

 

 

 

сходится и

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ - Т Г ' - t lо Fл r -

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Заметим,

что

ряд

'2ja,Jrn

 

 

 

 

 

 

__

 

 

 

о

 

абсолютно сходится

при

 

г >

lim | ап ||/п,

так

что

ряд

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Тп/Хп сходится

по

операторной

норме для

каждого

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X > 0. Но для любого х ^ Н

 

 

 

 

 

 

откуда

 

\

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{Х 1 - Т )~' = У^

д

л я

 

Х Ф 0.

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

3.3.

Пусть

Н = L2(0,

1)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

Tf =

g,

g(t) =

{ f(s)ds,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Тогда Т — ограниченный линейный оператор, и в силу неравенства Шварца

II П К 1.

Что касается спектра этого оператора, то заметим, что при X ф 0 из равенства

і

Xf(t) — J f{s)ds = 0 почти всюду для t е [0, 1]

о

Функции, преобразования, операторы

109

следует, что найдется непрерывная функция f, для

которой f ==f

f ,

f = 0 почти

всюду и

 

f (0) =

0,

Af' (t) =

f (t)

почти всюду.

Таким

образом,

f(t) = f(t) =

0 почти всюду, и ясно, что

для А =

0 это тоже справедливо. Далее, уравнение

 

 

t

f (s) ds — g (0

 

 

А/ (/) — J

почти всюду

 

 

о

 

 

 

имеет единственное решение, коэффициенты Фурье КО'

торого удовлетворяют соотношениям

1

1

fn = { f (0 еШпІ dt,

gn= I g (t) e-nint dt,

о

0

+

&ck= £»•

ТоТда

2яin

z __

Tn —gn

! + 2ninX ’

и

2nin

А 0.

1+ 2яшА

 

Следовательно, оператор T квазинильпотентный, и его спектр состоит лишь из нуля.

Отметим, что спектр ограниченного линейного опе­ ратора не может быть пустым. Но, с другой стороны, в приведенном примере нуль не является собственным значением, так как

 

 

77 =

0 = # / =

0.

 

Поэтому

линейный

оператор Т

1 замкнут, но не огра­

ничен. Этого и следовало

ожидать, поскольку

T~1f = g

означает,

что g7=

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

3.10.

Ограниченный линейный опе­

ратор Т,

отображающий

Я в Я,

называется

неотрица­

тельно определенным, если квадратичная форма [Тх, х]

, неотрицательна.

Заметим, что для всякого ограниченного линейного оператора Т операторы Т Т и Т’Т неотрицательно опре­ делены.

Смотрите также файлы