Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

ратор, отображающий Я] в Я2, называется компактным,

дящейся последовательности {хп} из Я, последователь­ ность {Тх„} сильно сходится в Я2. Обратно, любой огра­ ниченный линейный оператор, обладающий этим свой­ ством, компактен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть оператор Т компактен, а {х„} — слабо сходящаяся, скажем к х0, последователь­ ность из Я]. Тогда, согласно принципу равномерной ограниченности,

lU JK A f

для некоторого числа М, 0 < М < о о . Поэтому после­ довательность {Гх„} принадлежит некоторому компакт­ ному подмножеству в Я2 и, значит, из любой ее под­ последовательности можно извлечь еще более узкую сильно сходящуюся подпоследовательность. Обозначим такую сильно сходящуюся подпоследовательность через

Ііш Тхп= у.

П

Обратно, пусть Т — ограниченный линейный опера­ тор, переводящий любую слабо сходящуюся последо­ вательность в сильно сходящуюся. Пусть В — ограни­ ченное множество в Н{. Покажем, что замыкание множества ТВ компактно. Действительно, пусть {хп} — произвольная последовательность элементов из В. В силу свойства слабой компактности ограниченных

множеств в гильбертовом пространстве найдется под­ последовательность {xnk}, слабо сходящаяся к некото­ рому пределу, скажем к х0. Тогда подпоследователь­ ность {Txnk} сходится сильно и, как мы видели, ее

пределом должна быть точка Тх0. Очевидно, что Тх0 — предельная точка множества ТВ, а это и значит, что оператор Т компактен.

J II/II2йц < оо.

о

Скалярное произведение в этом пространстве зададим формулой

[/. g ] = / fgdii. Q

Обозначим через R(s, t) матричную функцию, опре­ деленную на произведении Q X измеримую относи­ тельно индуцированной алгеброй $ борелевой алгебры на этом произведении и такую, что

{ J IR (s, t) |2rfp (s) du (t) < oo.

Q Q

Тогда соотношения

g = T f,

g ( t) = J R(t, s) f (s) d\i (s)

а

определяют довольно важный класс компактных опера­ торов. Заметим, что в силу неравенства Шварца

Ig{t) l2< J I/?(*. s) fd \i (s) J If(s) |2dp(s),

a a

112 Глава 3

откуда

llgll2< J J W , S ) f d il ( s ) d ii{t)\\ff.

Q Q

Позже мы увидим, что это на самом деле особый под­ класс компактных операторов. Докажите компактность оператора Т, используя свойство, сформулированное в теореме 3.3.

З а д а ч а 3.3. Покажите, что если оператор Т ком­ пактен, то компактны и операторы 7", Т'Т, ТТ*, а также АТ и ТВ, где А и ß-»-линейные ограниченные операторы.

З а д а ч а 3.4. Пусть L — компактное линейное пре­ образование, отображающее Я в Я, а С — замкнутое ограниченное выпуклое множество в Я. Покажите, что множество LC замкнуто.

З а д а ч а 3.5. Пусть L — компактный оператор, ото­

inf \\ Lu — у \\= КLu0 — у \\.

неС

Покажите, что и0 характеризуется соотношением

sup Re \L*y — L'LUq, u] = Re[L'y — L'Lu0, «„].

D E C

Как изменится этот результат в частном случае, когда С — замкнутый выпуклый конус?

Пусть, наконец, С — шар:

{х: ||х||< М }.

Покажите, что всегда можно найти такие числа Я^О, что

и0= lim ( П + %tI)~' L*у,

и последовательность {А,,} сходится.

З а д а ч а 3.6. Если Т — компактный оператор, то множество его значений сепарабельно (содержит счетное

всюду плотное подмножество). Покажите, что множе­ ство значений компактного оператора не обязательно сильно замкнуто.

Спектральные свойства компактных операторов

Основное свойство компактных операторов связано с их спектрами. Поскольку все это очень хорошо из­ вестно, мы лишь сформулируем здесь основные резуль­

пространство Н в себя. Тогда любое отличное от нуля комплексное число Я принадлежит либо точечному спектру оператора Т, либо его резольвентному множе­ ству (так называемая альтернатива Фредгольма). Спектр этого оператора дискретный, он содержит не более счетного числа точек, и его предельной точкой (если таковая вообще есть) может быть лишь нуль.

Если компактный оператор Т самосопряжен, то соб­ ственные векторы, соответствующие различным собст­ венным значениям, ортогональны. Пусть {Я,-} — набор отличных от нуля собственных значений. Тогда для каждого Яі множество

Ж і = { х : Т х = %і Х}

образует подпространство собственных функций, соот­ ветствующих собственному значению Яг, и это подпро­ странство, очевидно, замкнуто. Обозначим через Ж0 нуль-пространство оператора Т. Ортогональное допол­ нение к Жо совпадает с замыканием множества значе­ ний R(T) оператора Т. Ясно, что

00

R (T )= Ъ1Ж і

и

DO

. Ж о + Ъ1Ж і

есть разложение пространства Н на ортогональные подпространства. Каждое подпространство Жі, іф О ,

не более чем конечномерно (это вытекает из того факта, что Т переводит ограниченные множества в компактные, а подпространство Жі отображает на себя). Выберем в каждом подпространстве Жі ортонормальный базис. Тогда, повторяя каждое собственное значение столько раз, сколько это необходимо, получаем

где I hi I —>0, если чисел Л,г бесконечно много. Отметим, что нуль не принадлежит резольвентному множеству компактного оператора, если пространство, в котором определен оператор, бесконечномерно.

Вольтерровы операторы

Реакция физической системы может зависеть от сти­ мулов, поступавших на нее вплоть до настоящего мо­ мента. Если система линейна и ее реакцию можно пред­ ставить интегральным преобразованием входного сиг­ нала, то

определяют ограниченный линейный оператор, отобра­ жающий //, в Ь2(а, Ь). Этот оператор называют воль­ терровым. Он компактен и квазинильпотентен. Дейст­

вительно,

t

Lnf = g, g {0 = J Mn (/, s) / (s) ds,