Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

116

Глава 3

Вообще любой компактный квазинильпотентный опера­ тор можно назвать абстрактным вольтерровым опера­ тором (см. Гохберг и Крейн [4]). Выше предполагалось, что ядро M{t, s) непрерывно, но в этом нет необхо­ димости. Достаточно, чтобы оно было квадратично ин­ тегрируемо. Более того, не обязательно требование конечности интервала (а, Ь). Этот результат важен для приложений, так что мы приведем его в виде следую­ щей леммы.

Л е м м а 3.1. (Трикоми.) Пусть ядро M{t, s) квад­ ратично интегрируемо, т. е.

ь

t

o o ,

J

JII /И (t, s) Ipds dt <

аа

Тогда оператор L, отображающий Я, в Я, {как выше), компактен и квазинильпотентен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Компактность очевидна. До­

кажем

 

квазинильпотентность.

Пусть

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

Л ( 0 =J II A f ( f ,

s ) dsIp.

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Тогда

функция

A{t) почти всюду конечна и

 

 

 

 

ь

 

 

<

o o .

 

 

 

 

J А (t) dt

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

Далее,

так как порядок интегрирования можно изме­

нить,

то

 

 

 

 

 

 

J

ь

і

s )dsdt]р =

ь

ь

| | A

f ( s)\fdtds/ ,

< o o .

 

J ИМ ( / ,

J

J

a

 

a

 

a s

 

 

 

 

Тогда

 

функция

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ ( « ) = M{t,/ II s) \fdt

 

 

 

 

Функции,

 

преобразования, операторы

 

117

почти всюду конечна и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J В (s) ds <

оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

Определяя

Mn(t, s),

как выше,

получаем

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

II

м 2 (t, s) IF <

J II ЛГ (t,

о) IF do j II M (a, s) ||2 d o ^ A (t) В (s) ,

 

 

 

 

s

 

s

 

 

 

 

II

 

 

 

t

 

t

 

s) IF do <

 

 

M3 (t, s) II <

J II M (t,

o) IF do J II M2 (o,

 

 

 

 

 

 

5

 

$

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

A (cr)

 

 

 

 

< A {t) J

A(o)B(s)do = A (t)B(s) J

do,

 

 

 

 

S

 

 

 

S

 

 

II

M4(t, s) IF

 

t

Л

a

 

 

 

 

< A (t) J

( а ) Я (J5 A) ( t ) dx =

 

 

 

 

=

1 Л ( / ) Я ( 5 ) ^

Л

( с т ) ^

.

По

индукции

 

 

 

 

 

 

 

 

IIM,' «

s)IF< '(^ ~ 2)Г А w в (*) ( J

л

.

 

так

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Ln\\2<

 

 

 

 

 

 

откуда

 

^

 

( / л ( Н

[ i A{ t ) dt J

2>

 

 

 

 

п ііі/га ■0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того,

функции

 

 

 

 

К п ( К t, =

я'+‘

1= I

118

Глава 3

сходятся по норме пространства Ь2(Д)р' (Л = {(t, s): a < s <

<t < b))-.

ь

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

I

II Kn {X,

t, s) — к {X, t, s) |pds dt

0,

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так ЧТО

 

 

( х і - т ) - ' = і + к(х),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

K(X)f = g,

g(t)*= I K(x,

t, s)f(s)ds

 

 

 

 

 

 

 

* a

 

 

 

 

 

 

и, значит,

К (X) — вольтерров

оператор.

 

 

 

 

З а д а ч а

3.7.

Пусть

H = L2(D)P, где

 

 

 

D — {(s ,,

s2, S3 ) £= Е2. 0

<

s „

S2 ,

S3 <

Т ^

-f-

сю}.

Покажите,

что оператор

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Lf = g,

 

f{t> s2,

s 3)

=

КJ

{t,

s , ,

s 2)

/

(

s , ,

s 2, s 3) d s , ,

 

 

вольтерров,

если

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т т т

l f

t

^

,

s , ,

dtds22)| p

<d

s0 0, .

 

 

J

J

J l

 

 

0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е

 

3.12.

Ограниченный

линейный

оператор Г, отображающий сепарабельное гильбертово пространство Я, в Я2, называется оператором Гиль­

берта — Шмидта, если

для

некоторой полной ортонор­

мальной последовательности {е„} из Я,

оо

[Теп,

Теп] < оо.

2

I

 

 

В дальнейшем, когда мы будем говорить об опера­ торах Гильберта — Шмидта, мы не будем оговаривать особо, что пространства, на которых они определены, сепарабельны.

З а м е ч а н и е 3.1. До сих пор мы рассматривали вольтерровы операторы типа Гильберта — Шмидта. Но

Функции, преобразования, операторы

119

это верно не для всех вольтерровых операторов. На­ пример, в пространстве H — L2{0, оо) для любого фикси­ рованного отличного от нуля элемента А е Я зададим оператор

t

Tf = g, g{t)= J h(t — s) f(s)ds, 0 < / < o o ,

о

отображающий H в себя. Тогда оператор Т не принад­ лежит классу операторов Гильберта — Шмидта, по­

скольку

00 t

J dt J Ih{t — s) fd s = -f oo.

оо

Он даже не компактен. Действительно, точечный спектр оператора Т пуст (воспользуйтесь преобразованием Лапласа), но если для некоторого X > 0 обозначим

со

и — J e~xth (t) dt, и ф О,

о

то ясно, что и не может принадлежать резольвентному множеству. Возникает вопрос: что же называть вольтерровым оператором в абстрактном смысле? Гохберг и Крейн [4], как мы уже отмечали, называют абстракт­ ным вольтерровым оператором любой компактный квази­ нильпотентный оператор.

Л е м м а

3.2.

Пусть

{е„} и

{е'п} — полные

ортонор­

мальные

системы в

гильбертовом

пространстве Ни

а Т — оператор Гильберта — Шмидта. Тогда2

 

 

 

2

[7^,

Теп] = 2 [ Г е ',

Те'п],

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

оператор

Т

компактен,

а сумма

оо

[Теп, Те„\,

не зави-

2

 

 

 

 

 

 

I

 

 

сящая от выбора ортонормального базиса, определяет ңорму И • ||HS на (линейном) пространстве операторов

Смотрите также файлы