Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
120 |
Глава 3 |
Гильберта — Шмидта:
l|7'||^s = 2 [^ „>Теп].
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Заметим, что |
|
|
|
|
оо |
|
Те'п— 2 К, еіп] Те,п |
||
и, |
значит, |
ш=1 |
|
|
|
||
|
со |
оо |
|
|
[Г<, 4 1 = 2 , |
2 |
[<• «т ] [ 4 , . г*J [<. «J |
и, |
следовательно, |
|
|
|
ОО |
ОО |
ОО |
2[4. 41=2, 2, 2 [<• «„Н4-. 4]К. «J- |
|
1 |
Л= 1 I К— I |
Тройной ряд в правой части абсолютно сходится, так что можно поменять порядок суммирования. Суммируем сначала по п:
Д |
[ < 4 ] [ < Ь 4 . ] 4 = - 2К = 1',] |
откуда |
|
2(4 41=2 [4. 41- |
||
1 *" |
J |
1 |
Далее, для любого л е й , |
||
|
Тх = |
^ [ е п, X] Теп |
и этот бесконечный ряд сильно сходится в Я2, причем
Тх II2 = (S [в„, *]2J (2 II ТвпII2) = |(х||22 II Теп||2,
откуда
Л |
К |
і т и |
Функции, преобразования, операторы |
121 |
Ясно, что если Г, и Г2 — операторы Гильберта—Шмидта, то таковы же и их линейные комбинации. Действи
тельно, |
из неравенства |
|
|
|
II (оГ, + РГ2) еп II2 < II аГ,ея ||2 + 1| ßT2en|р + 2|| а7>„ || || ßT2en|| |
||||
следует, |
что |
|
|
|
2 II (аГ, + ßТ2) епII2 < |
2 |
1| аT te a ||2 + |
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
+ |
S1 II ßT2en |р -f |
2 21 II аТ,еп |||| ßT2en||. |
Так как |
последний |
член в правой |
части в силу нера |
|
венства Шварца не превосходит |
|
|||
2 |
| |
/1 ]IIа 7 у „ |Р |
| |
/ |
|
І\ßT2enfі |
, |
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2II ( а Г |
, |
+ß7\>) |
IP < |
( II а |
Г||HS. + |
ßT21| ||HS) 2. |
|||
Таким образом, |
оператор aT^ + |
ß ^ |
принадлежит классу |
||||||
операторов Гильберта — Шмидта и |
|
|
|
||||||
II а Д |
|
+ ß T |
2 « и з |
< JІ h| |
sа- |
ГН |
ß ^ 2 l|HS. |
||
Попутно мы проверили, что норма Гильберта — Шмидта II • ||HS действительно обладает всеми необходимыми
свойствами нормы.
Предположим теперь, что пространство Н2 также сепарабельно. Обозначая через Т* сопряженный опера тор, а через {£„} произвольную полную ортонормальную систему в Н2, получаем
СО |
0 0 |
Т gn — 2 [Т £ги Вт]вт = |
2 \Твт, Цп\ет |
1 |
т=1 |
и, следовательно,
[T'gn, r gn] = 2 [Тет gaf. m=l
122 |
Глава 3 |
Но тогда |
|
2>[T'gn, |
T’gn] = 2 2 [Тет, gnf. |
1 |
n=l m=l |
Изменяя порядок суммирования, находим, что
2 [ Г ? т , gn? = \\Temf,
п — \
поэтому
со |
со |
2 [ Г £ Я, Г Ы = |
2II Гёт ||2< ОО. |
1 |
1 |
Отсюда следует, что Т* — также оператор Гильберта — Шмидта, причем
II г іін з = іт ін5-
Наконец, покажем, что оператор Т компактен. Для этого выберем последовательность {хп}, слабо сходя щуюся, скажем, к у. Тогда для фиксированного числа N
ОО ОО
II Тхдг — Ту ІР = 2 [TxN — Ту, еп]3 = 2 і [ х н — у, Г<?„]2, |
|
1 |
1 |
где в силу слабой сходимости каждый член ряда в пра вой части сходится к нулю. В то же время
2 [% - У, Т'еп]2< II xN- у И2 2 II Т'еп||2
m |
m |
и опять же в силу слабой сходимости |
|
II x n ~ УII ^ |
М < 00 Для всех N. |
Поэтому |
|
%[ХЯ - У , |
Т'епТ ^ м Ъ \ \ Т ' е п\?, |
тп |
m |
так что, выбирая пг |
достаточно большим независимо |
от N, можно сделать левую часть сколь угодно малой. Следовательно, {Тхп} сильно сходится к Ту и, значит, оператор Т компактен.
Функции, преобразования, операторы |
123 |
П р и м е р 3.5. Пусть Я, = Ь2 (а, b)q и К (t, s) — такая (р X ^-матрица, что
а ъ
J J tr К (t, s)K(t, s)*dsdt< оо.
с а
Тогда интеграл
ь
J К (t, s) f (s) ds, c < t <d,
a
определяет оператор Гильберта — Шмидта Т, отобра жающий L2(a, b)q в L2(c, d)p, и
d ь
H7’IIhs= j J t r ^^> «)*(*. sYdsdt.
с a
Более того, если дан оператор Гильберта — Шмидта Т, отображающий L2{a, b)q в L2{c, d)p, то можно найти соответствующее ядро с указанными выше свойствами. В самом деле, обозначим через фА(^) вектор-функции (размерности q) некоторого ортонормального базиса в L2(a, b)q, а через фу(О аналогичные вектор-функции
(размерности р) для L2(c, d)p. Положим
Тогда |
|
au=[Tfft, |
фу]. |
||
|
|
|
|
||
£ |
£ |
аИIf = 5 І |
I [Гфь фу] I2 = |
£ II Гфу IF = II 7112HS < оо. |
|
|
1 1 |
1 1 |
|
|
г=і |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
К (t, |
s) = 2 |
£ а;уф / O') Фі (s )’ , |
|
|
|
|
y=i |
1=1 |
|
причем ряд в правой части сходится в среднеквадрати ческом (на L2((a, Ь)Х(с, d))pq). Заметим, что при этом не предполагается конечность интервалов (а, Ь) и (с, d), Здесь, по-видимому, полезно указать, что существует множество компактных операторов, не принадлежащих классу операторов Гильберта — Шмидта. На самом деле можно дать общую конструкцию. Пусть пространство Я
124 |
|
|
Глава |
3 |
|
|
|
сепарабельно, |
а {еп} — его |
ортонормальный |
базис. Для |
||||
каждого Xе |
Я положим |
|
|
|
|
||
|
|
Tx = |
J j a t [x, |
eh]ek, |
|
||
где |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim I aft | = |
0, |
|
2 l |
l2= |
|
|
|
k-^oo |
|
|
I |
|
|
(Например, |
пусть ak = l/k .) |
Тогда оператор T отобра |
|||||
жает Я в Я |
и компактен. |
Действительно, |
если после |
||||
довательность {хп} слабо сходится к нулю, то для каждого п
Hm E l а* PI Um, ek] |2-*0.
m->оо I
Возьмем теперь N достаточно большим, чтобы для заданного е > 0 при всех выполнялось нера венство
Тогда для всех хт |
I |
ап I2 < е. |
|
|
|
||
SlflftPIUm, |
efe] I2 ^ |
8 S |
I Um, eft]l2< e ||x m|p, |
Л + І |
|
Л + І |
|
а норма II хт||, |
разумеется, ограничена. Это доказывает |
||
компактность |
оператора |
Т. |
|
С другой стороны, |
оператор Т не принадлежит классу |
||
операторов Гильберта — Шмидта, поскольку
оосо
Л[Тек, Tefc] = |
2 1ßfc I2 = 00• |
I |
1 |
(Заметим, что для компактности оператора Т необхо
димо, чтобы I а* I —»- 0.)
В качестве другого примера приведем интегральный
оператор, |
не |
являющийся оператором Гильберта — |
||
Шмидта. |
Для |
этого |
рассмотрим пространство |
Я = |
— Lo(— оо, оо) |
и для |
фиксированного ненулевого |
эле |
|
мента А из Я положим
=