Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
Функции, преобразования, операторы |
125 |
где * обозначает операцию свертки. Другими словами,
00
Tf = g, g (t)= I h (t — s) f (s) ds,
так что T —- ограниченный линейный оператор. Действи тельно, он, очевидно, замкнут, а поскольку он опреде лен на всем пространстве Я, молено применить теорему о замкнутом графике. Но оператор Т не принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта, так как
оооо
J |
J\ h { t — s ) \ 2 d s d t = o o . |
К тому же он и не компактен. Действительно, пусть
оо
•ф (/, ѵ) = J (exp 2лЫ) f (t) di
обозначает преобразование Фурье функции /. Обозна чим через [а, b] конечный отрезок ненулевой длины, для которого
inf I ф(/г, ѵ ) | > 6 > 0 .
а<ѵ<Ь
Положим
ь
f n ( t ) = { e ~ 2 n i i g n { v ) d v ,
а
где
gn(ѵ) = eQnln(v-a)/(6-a)j
так что
оо
J \fn{t)?dt = b - a .
—oo
Далее, для любой функции / ( • ) из L2(— оо, оо) в силу теоремы Парсеваля
ОО Ь
j f{t)T Jt)dt= J ф(/, v)g„(v)dv->0
*-ор |
a |
126 Глава 3
и, следовательно, •{/„( •)} слабо сходится к нулю. С дру гой стороны,
II h * fn IP - TfnII IP = |
ь |
11|)1(h, v) p| gn(v ) p dv > 6(b2 -a) > 0 , |
|
|
a |
так что оператор T не может быть компактным. Отметим, наконец, что класс JC операторов Гиль
берта — Шмидта образует на самом деле гильбертово пространство со скалярным произведением
[А, Я] = |
00 |
Веп], |
|
]£[Ле„, |
|
||
|
I |
|
|
где {е„} — ортонормальный |
базис |
в Я,; |
сумма в правой |
части не зависит от выбора базиса. Формального дока зательства требует лишь полнота пространства JC. Но это доказательство получается сразу, если заметить, что с каждым оператором Гильберта — Шмидта Т можно связать двойную бесконечную последовательность {а^}, где
я;/ = [7ф<. Ф/1,
{фі} — ортонормальный базис в Я,, {%} — в Я2 и
И Н і й і / Р= ||ЛРн8-
і І
Обратно, если дана такая двойная последователь ность (квадратично суммируемая), то можно определить оператор Т, положив
ОО
т<?і = S йг/Ф/>
/=1
ОО
Т х = S [X, Фг] Тсрі.
1
Но так как пространство квадратично суммируемых последовательностей гильбертово, то таково же и /С, Нз самом деле /С даже и сепарабельно,
Функции, преобразования, операторы |
127 |
Полярное разложение
Прервем па время естественный ход изложения для того, чтобы ввести понятие полярного разложения опе
ратора, родственное разложению |
комплексного числа |
||
на абсолютную величину |
и фазовый угол. Пусть |
А — |
|
ограниченный линейный |
оператор, |
отображающий |
Я, |
в Но (пространства Я, и Я2 не обязательно сепара бельны), и пусть
Ясно, что оператор R отображает Я, в Ни неотрица тельно определен и самосопряжен. Неотрицательно определенный самосопряженной оператор Т, удовлетво ряющий условию
R — Т2,
называется (положительным) квадратным корнем из опе ратора R. Положительный квадратный корень из R можно определять разными способами. Например, задать Т в явном виде:
|
о |
|
Квадратный корень из |
оператора нам будет |
нужен |
в основном тогда, когда |
оператор R компактен. |
В этом |
случае, по-видимому, естественнее воспользоваться спектральным представлением. Обозначим через Kt не нулевые собственные значения, а через фг соответству ющие собственные векторы оператора R. Положим
оо
Тх='2і Ѵ^і [ * , Ф іІФ г- |
|
I |
|
Очевидно, что оба определения совпадают. В самом |
|
деле, достаточно заметить, что |
|
ОО |
о < Я. |
J (1 - е Г и ) Г dѵ*t = { V I ) Г ( - V s ) , |
|
о
128 |
Глава |
3 |
Ясно, |
что в обоих случаях |
оператор Т самосопряжен |
и неотрицательно определен.
Зададим теперь на множестве значений оператора Т оператор U условием
и Т х — Ах.
Оператор U этим условием корректно определен, по скольку равенство
Тх{ — Тх2 |
|
влечет за собой |
|
[Т(х, — х2), Т (х, — х2)} = [Л (х, — х2), |
А (Х| х2)] = О, |
или |
|
Ах1= Ах2. |
|
Положим Uz = 0 для всех таких г, |
что Tz — 0. Тогда |
для любого z из нуль-пространства оператора Т и любого X
II U(Tx + z) IP= II UTx IP= II Ax IP= II Tx |p < II Tx + 2 |p
в силу ортогональности элементов z и Тх. Поэтому
||£/(Гх + zJIKHTx+zll.
Так как множество элементов вида Гх + 2 плотно в Я,, то U — ограниченный линейный оператор, отображаю щий Н\ в Н2. Вычислим теперь U':
[U'Ax, h] = [Ax, Uh\ = 0,
где h принадлежит нуль-пространству оператора Т (совпадающему с нуль-пространством оператора А). Следовательно, элемент U'Ax ортогонален к нуль-про странству оператора Т. Кроме того,
[U'Ax, Ту] — [Ах, Ау] — [Тх, Ту],
откуда
U*Ах — Тх,
или
U'UTx=Tx.
Поэтому
A = UT.
Функции, преобразования, операторы |
129 |
где [UTx, UTx] = [Tx, Тх], и, следовательно, U — изо метрия на множестве значений оператора Т. Таким образом, Т играет роль абсолютной величины опера тора А, а абсолютной величиной оператора U является тождественный оператор. Полученное разложение на зывается полярным разложением оператора.
Ядерңые операторы
Нам понадобится, особенно в связи с теорией гаус совых случайных величин в гильбертовом пространстве, еще один тип операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах.
О п р е д е л е н и е 3.13. Пусть пространства Я, и Я2 сепарабельны. Ограниченный линейный оператор А, отображающий Я, в Я2, называется ядерным, если для любой ортонормальной последовательности {еп} из и любой ортонормальной последовательности {§„} из Я2
оо |
|
|
2 |
I [Аеп, |
g„] I < оо, |
1 |
|
|
Т е о р е м а 3.4. |
Пусть |
оператор А ядерный. Тогда |
он компактен, и найдется такая ортонормальная после
довательность {//} из Я 1, |
что |
ЛМ/; = |
^ . , Я .> 0 , |
и для каждого х из Н {
оо
Ax=f= 2 Ы х>fi]hh |
|
1 |
|
где {hi} — ортонормальная |
последовательность из Я2. |
Более того, |
|
оо |
|
21^ г |
< 00• |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся сначала поляр ным разложением оператора А:
А = UT,
бЗак. 751
130 |
Глава 3 |
Положим hn— Uen. Тогда Ігп — 0, если еп принадлежит нуль-пространству оператора Т. Но в этом случае
Ге„ = 0 = Аеп,
так что [Аеп, gn] = 0. Поэтому будем рассматривать
лишь те элементы еп, которые |
принадлежат множеству |
|||
значений оператора |
Т. |
В этом |
случае |
|
. |
( |
[^rti ^m] == |
fl =7^=til, |
|
[Än,-Am] = |
| |
u |
|
n = m. |
Таким образом, из определения ядерности оператора А следует, что
2 1[Аеп, Ігп] I < оо.
I
Но либо
Аеп= 0,
либо
[Ае,„ hn) = [UTen, Uen] = [Ten, еп],
так что
оо
2 [ТеЛ, еп] < оо,
а так как из Т можно извлечь положительный квадрат ный корень, то
оо |
Ѵ т е п] < оо. |
2 [/74,, |
|
1 |
|
Другими словами, / Г — оператор Гильберта — Шмидта и, следовательно, он компактен, а потому компактен и оператор Т. Если теперь воспользоваться ортонормаль-, ными собственными векторами {/,■} оператора Т с соот-. ветствующими собственными значениями Яь то получим
2 1[Afn, |
Vfn] 1= 2 [Tfn, fn) = |
2 v < °°- |
I |
I |
л |
Полагая |
hi = Ufi, ЯI 0, |
|
|
|