Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Функции, преобразования, операторы

131

видим, что последовательность (AJ в Я2 также орто-

нормалы-іа, так что Ах можно

представить в виде

00

 

оо

 

 

Ах = 2

[х>fi\ hit

2

< °°> А* >

0.

1

 

1

 

 

Верна также и обратная теорема.

 

Т е о р е м а

3.5. Пусть

А — ограниченный

линейный

оператор, отображающий Я, в Я2, а оператор Т = If А' А

00

 

компактен и 2 А,- < °о,

где Аг — собственные значения ,

1

 

оператора Т. Тогда оператор А ядерный.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть {/Л — ортонормальная

система собственных векторов оператора Т:

Tfi = hfi-

С помощью полярного разложения можно показать, что для любых ортонормальных систем {е„} из Нх и {§„} из Я2

\[Аеп, g„] | = | [Теп, U'gn] |

и

00

 

Теп= 2

Am[e„, f m \ f m t

 

так что

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

оо

оо

 

 

 

2 I

[Аеп, Ы 1 < 2

2

A J [еп, fn] [| [/т ,

[.

I

«= I т = І

 

 

Далее, .

 

 

 

 

 

2

I [еп, и II \fm, Wgn] |<

II f m II ■ II UfmII <

1,

я= І

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

2 і [Аеп,

ы і <

2 Ат .

 

 

1

 

 

т—I

 

5*

132 Глава 3

Ядерная норма

Класс £Г всех ядерных операторов, отображающих Я , в Я2, представляет собой линейное пространство. За­ дадим в нем норму

м н ,= 2 и ,= 2 1 № ft],

1

1

 

где Я£— ненулевые собственные

значения оператора

Т = У А А \ а /( — соответствующие

им ортонормальные

собственные векторы. Будем называть эту норму ядерной. Если А, В е Т то

поскольку для любого ядерного оператора А

05

М Н , = S l i p S I [Aen, g„]|,

где верхняя грань берется по всем ортонормальным последовательностям {еп} и {gn}, принадлежащим Н{ и Я2 соответственно. Отметим также, что относительно ядер­ ной нормы пространство 8Г полно.

Для частного случая Ht = Н2 = Я зададим след ядер­ ного оператора (отображающего Я в Я):

00

tr А = Ц [Аеп, еп],

1

где {е„} — любая полная ортонормальная последователь­ ность из Я. Легко видеть, что это определение не зависит

от выбора конкретной последовательности.

Действи­

тельно,

пусть

Хі — собственные значения

оператора

T = Y A * A , а

/( — соответствующие им собственные

векторы.

Тогда

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

Аеп — 2 ^г ІА> /і] Ufu

 

 

 

 

I

 

где A — UT, и,

следовательно,

 

 

Ѣ [ А е я, еп\ =

Ъ S M * * , M W h , e j.

 

 

1

 

а—I 1=1

 

Функции, преобразования, операторы

133

Поскольку оператор А ядерный, можно в двойной сумме

 

изменить

порядок

суммирования:

 

 

2

[Аеп,

еп] = S

h

2 [еп, /,][£//„ еп] = І Я,,[/„ Uft],

г= I

1

 

і= і

п=1

 

так

как

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2[в„,

П Ш и en\ = [ f i ,

Uh}

 

 

 

n=I

 

 

 

 

в силу полноты ортонормальной последовательности {еп}.

 

Заметим, что в общем случае след оператора нельзя

 

выразить

через

его

собственные значения. Что же

 

касается ядерного

оператора, то для

него

 

I tr Л K t r /ЛМ.

Часто возникает необходимость рассматривать опре­ делитель самосопряженного положительно определен­ ного оператора, отображающего Я в Я. Определитель естественно задать формулой

det Г = П

і=-1

где %i — собственные значения оператора Т (так как опе­ ратор Т положительно определен, то > 0 для всех г). Но такое бесконечное произведение сходится к некото­ рой отличной от нуля величине тогда и только тогда,

когда

оо

2 і 1 - Я г | < о о .

1

Таким образом, определитель оператора Т корректно определен, если Т имеет вид

T = I + R ,

где R — неотрицательно определенный ядерный опера­ тор. Далее, можно определить и логарифм оператора:

(log (/ + R)) X= S (log (1 -f %k)) [x, фй] <pé> 1

134

Глава 3

где Хк — собственные значения оператора R, а ф* — соот­ ветствующие им ортонормальные собственные векторы.

Заметим, что log(det 7’) = tr(log Т).

П р и м е р

3.6. Пусть

 

 

 

Hl = L 2{О, Т,) ,

Г ,

< о о ,

 

Я2=

Г2 (0і Г2),

Т2<Г,оо,

и функция

R{t, s)

непрерывна в

прямоугольнике

0 < 5 < Г „ 0 < г < 7 Ѵ Тогда соотношения

Л! = ё,

г,

g (0 = { R (Л s) f (s) ds

о

определяют оператор Гильберта — Шмидта, отображаю­ щий Я) в Я2, так как

JГ3

ГJ, I R (t,

s) р dt ds < оо.

о

о

 

Далее,

г,

т,

 

II Л ||ң5 == J"

J ltftf, s)fdtds .

оо

Вэтом легко убедиться, выбрав в Я2 полную орто­ нормальную систему {ф„(і)}, в Я, — полную ортонор­ мальную систему M>;l(.s)} и заметив, что

R (t,

s) =

2

2

am,„фт (t) ф„ (s),

где

 

 

п

m

 

Т,

г

 

,

_________

 

 

am,n =

J

о

JR (t,

s) фт (0 % (s) dt ds.

 

о

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

&т, пфті

 

 

Функции,

преобразования, операторы

135

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лфп] == m Q-m, n'

 

Г,

Г,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Л%„. Л-ф«] =

У) ^

а«>.п =

I

I I R (t,

s) f dt ds.

 

 

 

 

 

 

 

о

0

 

Заметим,

что оператор А"А имеет соответствующее ядро

 

 

Т,

 

 

 

 

 

 

.

К (s2,

s{) = I

R (t, s2) R (t,

s,) dt,

0 < s ,,

s2^ : Tl.

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Это

значит, что

 

 

 

т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л*Л/ =

г,

g (s2) =

J К (s2,

s,) f (s,) dst.

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Аналогично ядро оператора

ЛЛ’

имеет вид

 

 

 

т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J R{t2, s) R{tu

s)ds,

0< ,tu t2^ . T 2.

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Как известно, оба оператора ЛЛ* и А*А ядерные, причем

г,

tr Л*Л = ^ЛЛ* = J K(s, s)ds.

о

В действительности операторы ЛЛ* и Л*Л имеют одина­ ковые ненулевые собственные, значения. Если Х„— не­ нулевое собственное значение оператора ЛЛ*, т. е.

ЛЛ ер,; = : Апф„,

то

II А'<РпII2= [А*ф„, Л*ф„] = [ЛЛ*ф„, ф„] = К Ф О

и

А*А (Л*ф„) = Л* (ЛЛ*Ф„) = Я„,(Л*ф^).

...

В самом деле, если ф„ — ортонормальные собственные векторы оператора ЛЛ*, соответствующие его ненулевым собственным значениям, то ортонормальные собственные

Смотрите также файлы