Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 129
Скачиваний: 0
136 |
Глава 3 |
|
векторы оператора А*А имеют |
вид |
|
|
Л*фп |
|
поскольку |
М’фі.11 |
’ |
|
|
|
Л*ф,„] = |
[ЛЛ*ф„, фш] = 0 для п ф т. |
|
Является ли оператор А ядерным? Очевидно, что для
того, чтобы оператор |
А был ядерным, |
необходимо (и |
достаточно), чтобы условие |
|
|
I [Л г|з„ , |
ф „] | У=і Iап,п I < |
оо |
выполнялось независимо от выбора ортонормальных
систем {г|>„} и {ф„}. |
s) это выяснить |
|
В общем случае по виду ядра R(t, |
||
|
со |
|
нельзя. Для использования условия |
21Ѵ \ і < ° ° і |
где |
Я„ — собственные значения оператора |
А*А (или |
АА*), |
надо знать числа Я„, а в общем случае это практически невозможно. Но если множество значений оператора А конечномерно, то оператор А, очевидно, ядерный. Его ядро имеет вид
т
2 fi (0 gt ( А f=i
где /Д • ) е Я,, gi( ■) е Я2. Легко проверить, что ядерная норма в этом случае не превосходит
т
S u f i ни^ и.
г=і
Для того чтобы понять, что происходит в общем случае, рассмотрим следующий пример. Для каждого п
зададим ядро
П
а д s) ~ 2 Фт (0 ‘Фт ($)•
1
Обозначим через Ап соответствующий оператор. Оче видно, что он ядерный. Кроме того,
л |
Т 2 |
Т \ |
|
|
І И п - Ап 11^ = 2 |
7 Г = 1 |
J і а д |
S)-Rm (t, |
s )\2dtds. |
m |
0 . 0 |
..............._ |
. . . |
|
Функции, преобразования, операторы |
137 |
Таким образом, последовательность {Л„} сходится к опе ратору Гильберта — Шмидта А с ядром
Со
R (і, s) = У ф,„ (0 фт (s).
Но оператор Л не может быть ядерным, поскольку
[Л щ, ф*] = lim [Апф*. ф*] = ~ .
С другой стороны, его ядро может быть непрерывным. Например, пусть Т1= Т2= \ и
Фа(і) = Фа(0 = ехр 2яikt.
Тогда можно (по классической схеме Карлемана, см. [4]) найти непрерывную функцию
оо
f (t) = 2 Ck exp 2nikt,
о
ряд в правой части сходится в среднеквадратическом на отрезке [0,1] и
|
оо |
|
. . . |
21 СА1= оо- |
|
Полагая |
0 |
|
со |
||
|
R(t, s) = / (t —■s) = 2 ck (exp 2nikt) (exp — 2niks),
видим, что функция R(t, s) непрерывна в прямоуголь нике 0 t ^ 1, а обозначая соответствующий оператор . через А, получаем
|
S i И ф'а. Фа] l= = S rC fc|= o o . |
|
|
о |
о |
Если Я[ = |
# 2> т0 |
особый интерес представляет част |
ный случай, |
когда |
А — ядерный оператор. Так полу |
чается, например, когда ядро (с вещественными значе ниями) R{t, 0), 0<Js, t ^ . T , является корреляционной
138 |
Глава 3 |
функцией, т. е. для любых at и любых tt
тт
И
R(t, s) = R(s, О-
Предположим еще, что функция R(t, s) непрерывна на [О, Т] X [О, У]- (Если R (t, s) = R (t — s), то уже из одной измеримости этой функции вытекает ее непрерыв ность.) Тогда ясно, что А — самосопряженный оператор
Гильберта — Шмидта. |
Кроме того, для непрерывных |
функций ф |
|
m m |
Ф (ti) R (t i , tj) Ф (//) (А ti) ( А t,) > О, |
И ф , ф] = ІІГП 2 2 |
а так как множество непрерывных функций плотно в пространстве всех функций и оператор А непрерывен, то для каждой функции ф из Н
[Лф, ф ]> 0 .
Пусть теперь Хп — ненулевые собственные значения опе ратора А, а ф„ — соответствующие им ортонормальные собственные функции. Тогда Хп > 0, а пространство, натянутое на {ф„}, совпадает с множеством значений оператора А. Положим
П
Rn З) = 2 ^тфт (О фm (®)і
1
а через Ап обозначим оператор с этим ядром. Тогда оператор Л„ ядерный (поскольку он вырожден: имеет конечномерное множество значений) и
П
tr Rn = 2 V I
Более того,
оо
[(Л — Ап) ф, ф ]= 2 Кп [ф> Ф/,.Р<
л-И
< sup |
II ф IP —>- 0 при |
OOj |
Функции, преобразования, операторы |
139 |
поскольку Ат —> 0. Но так как этот интеграл |
обра |
щается в нуль на функциях из нуль-пространства опе ратора А, то
R(t, s) — Rodt, s) = 0 почти всюду.
В частности,
lim II А — Ап l|fHS = 0.
Далее, А = У А*А и, следовательно, оператор А ядерный тогда и только тогда, когда
СО
2 К < оо-
С другой стороны, если
ТП
Zm{t, s) = R(t, s)— 2I
а Tm — оператор с ядром Zm> то для любой функции fe=L2(0, Т)
00 |
|
|
|
[Tmf, f] = [Af, f ] - 2 V « = 2 |
+1 |
K f l > 0. |
%], |
m |
|
|
|
так что оператор Tm неотрицательно определен. |
В силу |
||
непрерывности функции R(s, t) собственные функции оператора Тт, как легко проверить, непрерывны (мно жество значений оператора А содержит лишь непре рывные функции). Следовательно, функция Zm(t, s) не-'
прерывна по s и по і. |
U < T и |
|
||||||
|
Пусть |
теперь |
|
|
|
|||
|
|
ы |
о |
= |
all |
/, |
|
А, |
|
|
о |
в противном |
случае, |
||||
|
|
Ы 0 = |
|
а2, |
< |
*2 + |
А, |
|
|
|
|
О |
в противном |
случае. |
|||
Возьмем f = |
/ i + / 2- |
Тогда |
|
|
||||
|
|
|
£n+/i +Л |
|
|
|
||
Ö<[7*wf, f] = |
j |
J |
alZJt, s)dtds + |
|||||
|
/| + /l /j-f/t |
|
t2 |
U |
|
|
^2+Л *l+ /l |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
{ J |
d[Zm(t, s)dtds-\-2a]ai |
^ |
JZm(t, s) dt ds ^ 0 . |
|||||
t, tk |
. и t, |
140 Глава 3
Поделив все члены этого |
неравенства на h2 и устремив |
|||
h к нулю, |
получим (в |
силу непрерывности Zm(t, s)) |
||
а \ ^ т |
0ч> ^l) |
a 2 ^m |
( f i' |
^2) "Ь ^ a ia 2 ( ? l > ^2) ^ |
и вообще для любых конечных наборов {aj и {/г} |
||||
|
2 |
2 |
|
Ь) аі ^ о, |
|
і |
і |
|
|
т. е. функция в левой части положительно определена. В частности, Zm(i, t ) ^ 0 и потому
R(t, 0 > 2 W O 2,
где правая часть сходится. Но этого достаточно для того, чтобы сделать вывод о сходимости последова тельности функций
П
2 КУт (І) Фт (s)
1
к некоторой непрерывной функции. Действительно, в силу неравенства Шварца
£i h<Vk (0 Фа(s) <(2 ^аФа(02Д2 h < P k ( S ) 2) <
<(2 ^ аФа (s )2) R ( s , s ) < M 2 ^ аФа (s )2.
Итак, функция Zm(t, s) равномерно сходится по t при фиксированном s и по s при фиксированном t, так что ее предел непрерывен по каждой переменной в отдель ности. В то же время мы видели, что предел в средне квадратическом функции Zm(t, s) должен быть равен нулю. Поэтому R(t, s) можно представить в виде (извест ном как разложение Мерсера)
оо
R (*, s) = 2 ^ аФ'а W Фа («),