Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
Функции, преобразования, операторы |
141 |
где ряд в правой части сходится равномерно |
по t и s |
|||
на компактном отрезке [0, Г]. Отсюда |
|
|
||
|
|
со |
|
|
|
|
R(t, 0 = 2U*<p*(02, |
|
|
|
|
1 |
|
|
и значит, оператор А ядерный и |
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
tr А = J R(t, t) dt. |
|
|
|
|
О |
|
|
Обобщим этот результат на случай матричных ядер. |
||||
Пусть |
H = L2(a, |
ЬУ', интервал (а, Ь) |
конечен, |
а ядро |
R(t, s) |
является |
(q X ^-матрицей. Мы |
будем |
называть |
такое ядро корреляционным, если для любого конеч
ного набора точек {^-} из [а, |
b] и любых |
векторов о* |
|
из Е„ |
|
|
|
m |
m |
|
|
2 |
S [R {tu t,) vh 0|] > 0 , |
R (t, s) = |
R (s, t)\ |
/=i i=i |
|
|
|
Пусть R (t, s) — корреляционное ядро, |
непрерывное |
||
В прямоугольнике a ^ . t , s ^ b . |
Тогда соответствующий |
||
оператор |
А ядерный и |
|
|
ь
tr А = J tr R (t, t) dt.
а
Разложение Мерсера в этом случае имеет вид
оо |
|
R(t, S) = 2 1 |
(Офі (s)’> |
где Ki — (ненулевые) собственные значения оператора А, а ср* (■) —соответствующие им собственные (ортонор мальные) функций в форме (^ХІ)-матриц. Очевидно, что эти собственные функции (соответствующие нену левым собственным значениям оператора) непрерывны, а ряд Мерсера равномерно сходится.
142 Глава 3
/^-пространства над гильбертовыми пространствами
Для исследования задач, в которых используются уравнения с частными производными, нам понадобятся /^-пространства над гильбертовыми пространствами, и сейчас удобно их рассмотреть. Чтобы не перегружать изложение, мы рассмотрим лишь случай, когда основ ное гильбертово пространство сепарабельно. Итак, пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство. Функция u{t), принимающая значения из Я, называется слабо из меримой (по Лебегу) в интервале а < t < b, если для любого элемента с из Я измеримо скалярное произве дение [ц(<). и]. Поскольку пространство Я сепарабельно, из измеримости [«(/),о] следует измеримость по Лебегу функции Ии(t) |р.
Рассмотрим класс таких слабо измеримых функций и(t), а < t < b, что и (t) е Я почти всюду и
ь
J | | и ( * ) | р г Н < о о .
а
Очевидно, что этот класс образует линейное простран
ство. |
Введем |
скалярное |
произведение в нем: |
||||||
|
|
|
|
|
|
ь |
[ и |
( /v(t)]dt,. |
|
|
|
|
|
[и, v ]= |
а |
J |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, |
что заданное |
|
так |
скалярное произведение |
|||||
корректно |
определено. |
|
Пусть |
{срк} — ортонормальный |
|||||
базис в Я. Обозначим |
|
для |
функции u{t) из рассмат |
||||||
риваемого |
класса |
|
|
|
|
<рА]. |
|||
|
|
|
|
ak(t) = |
[u(t), |
||||
Легко |
видеть, |
что ак( ■) е |
L2[fl, |
Ь]. Более того, так как |
|||||
|
|
|
00 |
'I ak (t) I2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
II |
и(ОІР почти всюду, |
||||
ТО |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
Ь |
|
ОО |
|
fr |
||
00 |
|
|
|
||||||
2 |
1 |
\ \ a h{t)?dt= |
|
I |
|
|
\2dt=\\\u{t)\fdt. |
||
|
а |
|
а |
|
|
|
а |
||
Функции, преобразования, операторы |
143 |
Для произвольной функции ü(t) из рассматриваемого
класса положим |
аналогично |
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
М 0 = И 0 . |
Фаі- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
||
|
[«(/), v{t)\ = |
|
ak {t)bk{ty, |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
очевидно, |
что |
левая |
часть |
|
измерима |
по |
Лебегу. |
|||||
Так как |
1 [ и ( 0 . |
о ( 0 |
] |
К |
II« (О II |
-II |
о |
( О II, |
||||
то |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
,2 |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
||
Jl[«(0. |
v(t)]\dt\ |
< |
\ W H t ) f d t J||o(0IPd/== |
|
||||||||
'ü |
|
/ |
f l |
|
|
|
А = |
!!«(• |
)lPllo(-)IP, |
|||
откуда |
J \u(t), |
ü( 0 |
] ^ |
= |
2ak{t)bkJ |
|
|
|
|
|||
|
{t)dt. |
|
|
|||||||||
Таким образом, наше скалярное произведение кор ректно определено и, значит, рассматриваемый класс является предгильбертовым пространством. Это про странство полно. В самом деле, если {«„( ■)} — после довательность Коши, то для любого k функции
a{b\t) = [un(t), ФА] |
|
|
||
образуют последовательность Коши |
в L2(a, |
b)\ обозна |
||
чим ее предел через ak(t). Легко |
видеть, |
что «■„(•) |
||
сходятся к функции |
и(-), определяемой соотношением |
|||
[«(*)> Ф*І == а* (О- |
|
|
|
|
Обозначим это |
пространство |
через L2((a, |
b), Н). |
|
Его можно охарактеризовать еще и по-другому. |
Если |
|||
дана последовательность гильбертовых пространств Нп, построим новое (гильбертово) пространство, которое назовем бесконечным прямым произведением исходных пространств. Для этого возьмем последовательность
144 |
|
Глава |
3 |
|
|
|
|
|
ОО |
о о , |
|
|
|
{*,.}> где хпе= Нп, |
Уі II хп||2 < |
и зададим |
скалярное |
|||
произведение |
|
I |
|
|
|
|
формулой |
|
|
|
|
||
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
[•*•> У\ ==1 2 |
[хп, |
1/ц]' |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Это пространство полно; обозначим его |
через |
Н^. |
||||
Тогда Ь2{(а, Ь), Н) = Ноо, где Hn=>L2(a, b) |
для всех/г. |
|||||
З а д а ч а |
3.8. |
Пусть последовательность |
{«„(■)} из |
|||
І 2([а, 6], Н) |
сходится к и( • ). Тогда из нее |
можно |
из |
|||
влечь подпоследовательность, |
сходящуюся к м( • ) почти |
|||||
всюду на [а, b]. |
|
|| uk (t) —■и (t) ||. |
Тогда |
из |
||
Указание. |
Пусть gk (t) = |
|||||
условия
ь
J gk{t)2dt-> 0
а
следует, что подпоследовательность {g*.( •)} почти всюду сходится к нулю.
З а д а ч а 3.9. Пусть при каждом п пространство Нп гильбертово. Покажите, что пространство последова тельностей {лг„}, хп е Нп, для которых
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(«ОІІ-^ІІ2 < |
°°> |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
гильбертово |
относительно |
скалярного |
произведения |
|||||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
[-^і |
у\ == 2 |
(ß!)[JC/ii Уп\‘ |
|
|||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
З а д а ч а |
3.10. |
|
Покажите, |
что |
пространство |
|||
L2{(a, b)> |
Н) |
сепарабельно, |
и найдите |
в нем полную |
||||
ортонормальную последовательность. |
|
ортоңормадьңая |
||||||
Указание. |
Пусть |
{<рй (/)} — полная |
ä |
|||||
последовательность |
в |
L2((a, b), |
Н), |
{ßfe} — ортонор- |
||||
мальный |
базис в Н. |
Рассмотрите последовательность |
||||||
{ф*(Ов*>-
|
Функции, преобразования, |
операторы |
145 |
|||
П р и м е р |
3.7. |
Пусть |
Я — сепарабельное |
гильбер |
||
тово пространство |
и |
JF — гильбертово пространство |
||||
операторов |
Гильберта — Шмидта, |
отображающих Я |
||||
в Я. Мы уже видели, |
что пространство JC также сепа |
|||||
рабельно. Обозначим через D множество |
|
|||||
|
{(/, s): a ^ s ^ . b , csS^t^d}. |
|
||||
Пусть W(t, s) — элемент |
из L2{D, |
Jf), а « ( • ) —элемент |
||||
из L2([a, b\, |
H). Тогда |
соотношения |
|
|||
Tu — V, |
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
V (t) = I |
W (t, |
s) и (s) ds, |
c ^ . t ^ . d , |
|
||
а
определяют ограниченный линейный оператор Т, ото бражающий L2([a, b], Я) в L2{[c, d], Я). Оператор Т принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта и его норма Гильберта — Шмидта равна
d |
b |
II Т Hhs = J |
I \\W{t, s) ||hs ds dt. |
са
За д а ч а 3.11. В рассмотренном только что примере
положим |
а = с, |
b — d, |
— оо < а, 6 < + |
оо, |
и пусть |
|||
K{t, s) |
из |
L2{D, |
jT) есть корреляционное ядро, т. е. |
|||||
|
|
|
m |
ш |
t,)x„ л-/1>0. |
|
|
|
|
|
|
S |
2 [К to, |
|
|
||
|
|
|
1=11=1 |
|
|
|
|
|
Пусть |
ядро |
K(t, |
s) непрерывно |
по норме |
Гильберта — |
|||
Шмидта |
в |
прямоугольнике |
a ^ s , t^ .b . |
Наконец, |
||||
пусть отображение K{t, t) ядерно. Покажите, |
что тогда |
|||||||
Т — ядерный оператор и |
|
|
|
|
||||
ь
t r 7 W j trK(t, t)dt.
а
Покажите, что для K{t, s) существует разложение |
|
Мерсера |
|
00 |
|
К (/, s) = Уі |
(/) ф, {s)\ |
1 |
|