Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 0
146 Глава 3
где фі ( ■) — собственные |
функции, |
соответствующие |
||||
ненулевым |
собственным |
значениям |
Xh функции |
(t) |
||
непрерывны |
на |
отрезке a ^ . t ^ . b , |
|
а ф; (t) ф( (s)* — опе |
||
ратор, задаваемый соотношением |
|
|
|
|||
|
Фі |
( 0 Фі { S ) * X = |
ф ; {t) [ ф і |
( s ) , Л ']. |
|
|
Этот оператор, |
очевидно, ядериый, причем |
|
||||
|
tr Фі (/) ф£ (s)* = [ф, (0. |
Фі (•*)]• |
|
|||
Указание. Непрерывность собственных функций вы текает из неравенства
ь
{ {K(t + Д, s ) - K ( t , s))f(s)ds
а
Ь
< Jllfftf + A, s ) - K ( t , s)\\llsds\\ff.
Так как оператор Т неотрицательно определен, то все его ненулевые собственные значения положительны. Тогда, как и раньше, функция
|
Z„ (i, |
s) = |
К (t, |
s) — 2 |
Xtfi (t) фі (s)* |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
задает |
неотрицательно |
определенный |
оператор |
на |
|||
L2{[a, b], |
Н), а также на Н при |
фиксированных (t, |
s). |
||||
П р и м е р |
3.8. |
В о л ь т е р р о в ы |
о п е р а т о р ы . |
||||
Продолжая предыдущий пример, зададим оператор L |
|||||||
соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
Lu — V, |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
b t |
|
|
|
ö ( 0 = W(t,J s)f{s)ds, J JII W(t, s)fH5dsdt < oo.
а |
а а |
Этот оператор отображает L2{[a, b], Н) в себя. Тогда оператор L вольтерров и квазинильпотентен. Доказатедьство такое же, как в конечномерном случае.
Функции, преобразования, операторы |
147 |
Полилинейные формы
Полилинейные формы играют важную роль в общей теории нелинейных преобразований, а кроме того (по крайней мере билинейные формы), представляют само стоятельный интерес. Полилинейные формы являются естественным обобщением линейных преобразований.
Итак, |
пусть |
f(xb ... , хп) — функция от п переменных |
Хі, і = |
1, ... , |
п, Х і ^ Н , принимающая значения в дру |
гом гильбертовом пространстве Y. Такую функцию называют полилинейной (п-линейной) формой, если она линейна по каждой из своих переменных в отдель ности. Полилинейная форма называется симметриче ской, если она принимает одно и то же значение при всех перестановках своих переменных, и непрерывной, если она непрерывна по каждой переменной в отдель
ности. |
Например, |
пусть Н = L2(a, b), а |
функция |
|||
K(t, Sj, .... |
s„) |
такова, что |
|
|||
d |
b |
|
b |
|
|
|
J |
dt [ |
... |
J I |
K{t, s,........ sn) fdSi ... dsn < |
oo . |
|
c |
a |
а |
|
|
|
|
Тогда |
функция |
|
|
|
|
|
g(t) = |
Jь • ■• |
Jь K(t, |
S|, |
... , s„)/, (s,)... ftl(sn)dsi |
... dsn |
|
а |
а |
|
|
|
|
|
определяет /г-линейную форму, отображающую Ь2(а, Ь) в L2(c, d), непрерывную, поскольку
I
••• J | |
S„ ... , s„)N s, ... |
II/, II2 ... II/„II2, |
- и симметрическую, если K(t, Si, . .., sn) — симметриче ская функция относительно (г = 1, ... , /г). Заметим, что для фиксированных t и (sj
IC{t, S), . .. , s„) а, ... an
есть симметрическая /г-линейная форма относительно вещественных чисел. Вообще можно было бы начать
148 |
Глава 3 |
с рассмотрения полилинейной формы, отображающей одно евклидово пространство Ер в другое евклидово пространство Ет. Однако изложение тогда было бы сложнее.
Итак, пусть К{х\, •••, хп) — полилинейная форма, отображающая Ер в Ет. Обозначим через {е,} ортонор мальный базис в Ер, а через {«;} ортонормальный ба зис в Ет. Тогда К(хь ... , хп) можно представить в виде
К (л-], |
• • •, Хц) |
т |
|
хп) Ui, |
|
1 |
/е((,Ѵ]> ■• •, |
|
|||
где |
|
1 |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хі = 2 |
a/е/, |
|
|
|
|
р |
/=I |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
ki (х,........ хп) |
|
.... / |
Ц/ ■• • |
> |
|
|
'1=1 |
|
п=‘ |
1 |
|
...../„ = 2 |
ki (е,р . .. , |
еіп) 2 U<(ßt,..........ein), щ). |
|||
Это представление верно для любой полилинейной формы, отображающей одно конечномерное простран ство в другое; непрерывность здесь не требуется. Если же нам нужна симметрическая форма, то мы должны потребовать, чтобы каждая функция ki (eii, ... , е,п)
была инвариантна относительно всевозможных пере становок множества {е(/}. Пользуясь полученным выше
представлением, мы можем утверждать, что функция
ьь
g{t) = { •.. J K(t, slt ..., sn, f,(s,), ...,fn(sn))dsi.. .dsn,
аа
определяет симметрическую непрерывную n-линейную форму, отображающую Ь2{а, b)q в L2(c, d)p, при усло вии, что K{t, Sj, ... , sn, Xi, .... xn) — симметрическая n-линейная форма для фиксированных t и {s{}, отобра жающая Eq в Ер, симметрическая относительно пере-
Функции, преобразования, операторы |
149 |
менных {sj и удовлетворяющая условию
d |
ь |
ь |
|
|
|
|
J r f / J |
. . .M(i,J su ... , |
sn)2ds, |
... dsn < OO, |
|||
• с |
а |
а |
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
II ft (^j *^1» |
■• • > |
X\, |
. . . , Xji) ||^^ |
|
|
|
|
|
|
< M{t>s,, .. |
sn)И.V, II ... Ца'Л , |
||
Здесь уместно отметить, |
что |
если |
/С(.ѵ,.........хп) — |
|||
непрерывное я-линейное отображение |
из X в Y, то |
|||||
|
|
sup |
II /< (-V-...........-У») II |
< оо . |
||
|
|
|
II-V) 1...ІЫ І |
|
|
|
Докажем это сначала для билинейных форм.
Л е м м а 3.3. |
Пусть ft{xlt х2) — билинейная форма, |
отображающая X |
в Y и непрерывная по каждой пере |
менной |
в отдельности. Тогда существует функция S{x), |
определенная на X и для каждого х задающая ограни |
|
ченное |
линейное преобразование S, отображающее X |
в Y непрерывным образом, причем |
|
|
||S(*1) - S ( * 2) |K M ||* , - * 2|| |
(норма |
слева — это операторная норма) и справедливо |
представление
ft{x\, ѵѴ2) = S (л:,) л;г-
Хроме того,
l|/C(*i, x2) ll^ M|| xt UKx21|.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Заметим, |
что ft(x, •) для |
каждого X определяет ограниченное линейное преобра- |
||
. зование из X в Y, так что |
|
|
sup II ft {х, |
х2) | К k (х) < |
оо . |
IUjIKi |
|
|
Далее, ft (•, х2) для каждого • х2 также определяет ограниченное линейное преобразование из X в Y. В частности, множество {Д( •, х2): ||*2 ІІ^ 1} определяет