Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
150 |
Глава 3 |
такую совокупность ограниченных линейных преобра зований, что для каждого х е X
sup II К (X, х9) II < /г (х) < оо.
Поэтому в силу принципа равномерной ограниченности существует равномерная оценка сверху операторных норм, т. е.
SUp SUp II К (х, Хо) II = М < ОО. IWKi Н-ѵьІКі
Отсюда следует, что
I\К (хи х2) || = М|| X'! ||||х2||.
Остальные утверждения леммы теперь получаются непосредственно.
По индукции если К (хи ... , х„) обозначает п-ли- нейную форму, непрерывную по каждой переменной в отдельности, то легко показать, что
||Я (х„ . .. , х „)ІК М ||х ,|| ... ||х„||.
Обратное, разумеется, также верно. Норма /г-линейной (ограниченной или, что эквивалентно, непрерывной по каждой переменной в отдельности) формы задается равенством
II К II = sup |
II к (X ........... |
Х п ) II |
|
IIX, II... |
II д-„ II |
По аналогии с таким же результатом из теории ли нейных операторов (а также опираясь на него) можно доказать следующую лемму.
Л е м м а 3.4. Пусть {/Сm (•••)} — такая последова тельность непрерывных п-линейных форм, что для
каждого |
элемента (х,, |
... , хп) |
последовательность |
|||
{Кт{х1, |
... , х„)} сходится-, |
обозначим этот |
предел через |
|||
К (Х], ... , |
х„). |
Тогда !({•••) — непрерывная |
п-линейная |
|||
форма и |
И-К(‘ • •) II^ Hm inf II Km{‘ ••)!!• |
|
||||
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируя |
все |
переменные, |
|||
кроме |
одной, |
и переходя |
к пределу, получаем, что |
|||
Функции, преобразования, операторы |
151 |
функция /((•••) должна быть непрерывной по каждой переменной в отдельности. Далее,
!*(*■, .... Хп) II ...
ll-V,||...|knll
а так как |
• • ч х п) |
І-Кш(А~1’ |
|
I JCi II - |
- - ВJC» II |
\\Кт(Хи ...,.ѴП)| Um || *>!•.. II *„i|
I< н /*:«(•• oil,
то второе утверждение леммы также доказано.
Если пространство X сепарабельно, то в классе полилинейных форм можно выделить формы Гиль берта — Шмидта.
О п р е д е л е н и е |
3.14. «-линейная форма, отобра-. |
|||||||||||
жающая |
сепарабельное |
гильбертово пространство |
X |
|||||||||
в пространство |
Y, |
называется |
формой |
Гильберта — |
||||||||
Шмидта, если в X существует полная ортонормальная |
||||||||||||
система |
{ej, |
для |
которой |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
••• |
2 і І К Ц , |
|
ein) IF |
< |
0 0 • |
|
|
||
|
|
Іп = I |
г, = ' |
|
|
|
|
|
|
|
||
Как и в случае п — 1, левая |
часть не |
зависит |
от |
вы |
||||||||
бора конкретной ортонормальной системы. |
|
|
||||||||||
О п р е д е л е н и е |
3.15. Нормой «-линейной формы |
|||||||||||
Гильберта — Шмидта называется |
число |
|
|
|
|
|||||||
|
II |
К Iltis = |
2 |
. . . |
2 |
\\K(eh, ... , |
ei ) IF, |
|
|
|||
|
|
|
|
«„=! |
/,= і |
|
|
|
|
|
|
|
где {е,}— любая |
полная |
ортонормальная |
система |
век |
||||||||
торов из |
X. |
|
|
п — 1, |
|
|
|
|
|
|
||
Как |
и в случае |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
IIKIKIIKIIhs- |
|
|
|
|
|||
Класс |
/г-линейных |
форм Гильберта — Шмидта |
обра |
|||||||||
зует |
линейное пространство. В нем можно задать ска |
лярное произведение |
|
[К, |
Ц = 2 . . . . 2 [К{е,, . .. , ein), L{eh, .... el(i)}, |
152 |
Глава 3 |
и тогда оно будет полным относительно нормы, инду цированной этим скалярным произведением. Другими словами, класс таких форм образует относительно вве денного скалярного произведения гильбертово простран ство; обозначим его через Jfn{X, У)- Это пространство сепарабельно (независимо от того, сепарабельно У или нет). Представляют интерес /^-пространства функций, принимающих значения в пространстве j f n. Рассмот рим одно такое пространство.
П р и м е р 3.9. Пусть X = L2(D)P и У = Еи где D — подмножество в Еп. Тогда для каждого элемента из j¥n{X, 7) можно предложить следующее представление. Для простоты записи рассмотрим пространство Л’ъіХ, У). Пусть {ег (0} — полная ортонормальная система функций из X и
|
qij = |
К {ві, |
ej). |
Зададим на Ер 4-линейную форму |
|||
F (Л|, ■• *, -V4) |
[«^І» Л.3] [*^2> -^4]» |
||
принимающую |
значения в Е |
Положим |
|
|
П П |
|
|
K n i t , S, х 3, |
х А) = 2 2 |
qiiF(ei(t), e,-(s), л.-3, х 4) |
|
г=і /=і
идля функций /( •) и g( •) из X определим
ПП
Kn(f, 8 ) = f f |
У і ^ЯиРіеіѴ). ej(s),f(t),g(s))d\t\d\ s |. |
D D |
1 = I i= l |
Очевидно, что функции K n принадлежат пространству Ла2(Х, У) и образуют в нем последовательность Коши. Далее, функции Kn(t, s, ... ) образуют последователь ность Коши в L2(D X А АС2{Ер, Е і)). Если K{t, s, . . . ) — ее предел, то нетрудно видеть, что
K ( f , g ) = J J K{t, s,.f(t), g (s ))d \t\d \s |.
D D .
Обобщение этого результата на «-линейные формы более высокого порядка (п > 2) получается сразу. Этот результат можно обобщить и на случай, когда Z =
Функции, преобразования, операторы |
153 |
— L2{D, Я), где Я — любое сепарабельное |
гильбертово |
пространство. И в том и в другом случае |
можно вос |
пользоваться определением формы /•’(•••) через скаляр ные произведения в Я.
Перейдем теперь к ситуации, в которой X = L2{D)P, как и раньше, а Y — L2{D')4, где D' — подмножество другого евклидова пространства. Снова подробно изу чим лишь случай JC2{X, У). Найдем для элементов этого
пространства удобное представление. Пусть |
{«.;(■)} — |
|||||
базис в У |
(пространство У сепарабельно) и |
|
||||
[К{f, g), |
щ] = |
J |
j |
Ki (s,, |
s2, f (s,), ц (s2)) d I s, |
I d I s21. |
Положим |
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
П |
|
||
|
|
|
|
|
||
K n ( t , |
s h S2, |
X3, |
X4) = 2 |
S2, X3, X4) U i { t ) , |
||
i= I
а Kn{f> g) определим соотношениями
Knif, g) = h,
h{t)= J J Kn(t, si, s2, f(s,), g ( s 2) ) d\S\ I cf |s21.
D D
Тогда очевидно, что функции Кп{-• •) принадлежат про странству Jf2{X, У) и образуют в нем последовательность Коши. Далее, функции
K n i t , Si, s 2, •••), t ^ D ' , s h s 2 < = D ,
образуют последовательность Коши в L2 (D' X D X А JF2(Ep, Eq)). Если K { t , S|, s2, ... ) — ее предел, то нетрудно
видеть, что
К ( f , g) = h , h { t ) = I J K [ t , s„ s2, f(si), g{s2))d |s, |d |s 2|.
DD
Вкачестве последнего обобщения рассмотрим случай
X = L2(Dl, Я,),
у = l 2{d 2, .Я2),
где А и Я2 ~ подмножества соответствующих евклидо вых пространств, а Яі и Я?—сепарабельные гильбертовы
154 Глава 3
пространства. Предположим, что |
«-линейная |
форма |
|||||
К (хи . . . , х п) принадлежит |
Aan{X, |
У)- Тогда |
ее |
можно |
|||
представить |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
J . . . |
К{хи ... , хп) = |
у, |
|
|
||
y{t) = |
J K(t, Si, . . . , |
sn, -V, |
(s,), . . . |
|
|
||
|
Di |
D, |
. . |
xn{sn))d |s, |
I ... |
d |s„ I, |
|
|
|
|
|||||
|
K (t,sv . . . . Sfl, ...)z= L 2(D2X D »,jrn(Hl H2)). |
||||||
3 |
а м'е ч а и и e 3.2. |
П о с т р о е н и е |
р а з р ы в н о й |
||||
п о л и л и н е й н о й формы. |
Как это ни удивительно, но |
||||||
для |
построения полилинейной формы, не обладающей |
||||||
свойством непрерывности, требуется аксиома выбора. Для простоты займемся 1-линейной формой (линейным функционалом), определенной на некотором (бесконечно мерном) гильбертовом пространстве Н. Чтобы построить линейный функционал, определенный на всем Н и не обладающий свойством непрерывности, выберем в Н ортонормальный базис Гамеля; обозначим его через {ej. Положим
т
К(*) = 2 а « ,,
где
т
X= 2 аа еа .
і=і 1 . ‘
Если бы функционал К{х) был непрерывным, то для некоторого элемента у из Н выполнялось бы равенство
К{х) = [х, у],
а этого, очевидно, не может быть.
Легко видеть, что существуют п-линейиые формьь которые непрерывны, но не являются формами Гиль берта-Ш мидта. Например, пусть п = 2, а Т — огра ниченный линейный оператор, отображающий бесконечно мерное сепарабельное гильбертово пространство X в себя. Положим
К{Х\, Х%)---- [ r.Vj, А-2].