Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Форма К (•, •) является формой Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда Т — оператор Гильберта — Шмидта. Действительно, пусть {е,} — ортонормальный базис в X. Тогда если / ( ( • , • ) — форма Гильберта — Шмидта, то

оооо

2 %\[Tet,ej] |2< оо.

і=і і=I

Но

2 l[7 ,ei,e/]|2= ll Tet ||2,

/=I

откуда

оо

2 II Tei II2< оо i=l

и, следовательно, Т — оператор Гильберта — Шмидта. Обратное утверждение можно получить, повторив пре­ дыдущие рассуждения в обратном порядке. Отметим, в частности, что для того, чтобы форма К(-, •) была формой Гильберта — Шмидта, не достаточно, чтобы

2 і К(еі> еі) I2< °°- t=1

Нелинейные операторы

Теория нелинейных операторов не столь широка и не столь полезна, как линейная теория, но все же в ней довольно много важных результатов. В этом разделе мы вкратце остановимся на некоторых ее общих аспектах, имеющих отношение к теории оптимизации.

Здесь мы рассмотрим лишь операторы (правильнее было бы называть их функциями, но, поскольку в этом вопросе нет единого мнения, мы будем пользоваться и -тем и другим термином, в зависимости от контекста), определенные на всем гильбертовом пространстве X и принимающие значения в другом гильбертовом простран­ стве Y. И так же как для функций, определенных на евклидовых пространствах, будем считать, что ближе всего к линейным операторам стоят полиномиальные операторы.

Кроме того, на любом ограниченном множестве он удовлетворяет условию Липшица. Другими словами, если Н — ограниченное множество в І , а х и у — эле­ менты из А, то

II Р ( х ) - Р ( у ) ||< М ||х - у ||,

где М — некоторая постоянная, зависящая от А. Дей­ ствительно,

поскольку у принадлежит ограниченному множеству. Очевидно, что первое слагаемое можно оценить по тому же принципу и в конце концов получить нужный результат.

Верно и обратное, как мы сейчас увидим. Заметим, что для любого скаляра X и любого однородного

При фиксированном х коэффициентом при Хг оказы­ вается полином степени г по у, а при фиксированном у — полином степени п — г по х. Кроме того,

Заметим, что при этом не предполагалась непрерывность функции Р (-). На этой стадии полезно ввести два понятия производной.

в точке X, если для каждого Іг из X существует предел

Обозначим этот предел через бf(x,h).

Однородный полиномиальный оператор дифферен­ цируем по Гато всюду. Более того, 6Р(х, К) при фикси­ рованном X является однородным полиномиальным опе­ ратором первой степени по h. Но он не обязательно непрерывен по Іг.

и этот предел определяет (относительно /г) некоторый ограниченный линейный оператор, отображающий X в Y:

б/ (х, Іг) — F {х) Іг.

Оператор бf(x,h) называют дифференциалом Фреше, а F (х) — производной Фреше.

Очевидно, что однородный полиномиальный оператор дифференцируем по Фреше (в каждой точке), если он непрерывен. Пусть / (X) — полиномиальный функционал степени п, отображающий X в £). Тогда его производ­ ная Фреше имеет вид

бf(x,h) = {P(x),h],

где Р (х) — непрерывный однородный полиномиальный оператор степени /г— 1, отображающий X в простран­ ство линейных операторов из X в X. Если f ( - ) —опера­ тор Гильберта—Шмидта, то таков же и оператор Р{-). В этом случае Р( - ) компактен в том смысле, что он отображает ограниченное множество в множество, замы­ кание которого компактно. В этой связи мы приведем (без доказательства) теорему, являющуюся переработан­ ным вариантом теоремы Люстерника и обобщающую аналогичный результат для линейных операторов.

Т е о р е м а 3.6. (Люстерник.) Пусть / (•) — непрерыв­ ный однородный полиномиальный функционал четной сте­ пени, отображающий вещественное гильбертово простран­ ство X в Еі, а Р (х) — производная Фреше, т. е.

6f(x,h) = [P(x),h].

Предположим, что оператор Р ( -) компактен и поло­ жительно определен, т. е. для х Ф О

[Я (х), х] > 0 , х Ф 0.

Тогда существует последовательность положительных чисел Хп, для которой Р (хп) = Кпхп, А,, ^ Х2 ■• • ^ А,„ ^ • • •

и нуль — единственная предельная точка.

Степенные ряды

После того как введено понятие полиномиального оператора, исследуем вопрос о возможности разложе­

ние потребует обобщения понятия голоморфной аналити­ ческой функции. Этому посвящена обширная теория, с которой можно познакомиться, например, по книге Хилле и Филлипса [8]. Здесь же мы коснемся лишь некоторых аспектов этой теории, тем более что разло­ жение в степенной ряд, как и в числовом случае, не слишком полезно как метод приближения нелинейных операторов.

Прежде всего,нам придется заняться более простым (и более .частным) вопросом: теорией функций комплекс­ ной переменной, принимающих значения в гильбертовом пространстве. При этом вопрос о том, вещественно или комплексно это гильбертово пространство, оказывается вопросом первостепенной важности. Поскольку мы будем

аналитических функций, мы будем считать все рассма-: трнваемые гильбертовы.лространстца комплексными.