Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
ІбО |
Глава 3 |
Функция /(А.), определенная в области D комплекс ной плоскости и принимающая значения в комплексном гильбертовом пространстве, называется аналитической в области D, если скалярное произведение [/(А), h] обла дает одинаковыми свойствами при всех / і е Я . В этом случае функция f( А), в частности, слабо дифференци руема по А, т. е. скалярное произведение [/(А), /г] диф ференцируемо при любом /г. Функция /(А) называется
сильно дифференцируемой по А, если найдется такой элемент /'(А) пространства //, что
/ (А + Ѳ) — / (А)
Нт
|0|Н»0 Ѳ
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформули ровать и доказать основной результат теории аналити ческих функций.
Те о р е м а 3.7. Пусть f (А) — аналитическая функция
впросто связной области D. Тогда /(А) имеет сильные
производные всех порядков. Более того, если точка А0е£ ) находится на расстоянии г от границы области D, то
со
п = 0
где ряд справа сходится при | А — А01< г.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В основу доказательства по ложено следующее тождество, справедливое для любой
комплекснозначной функции |
g (•), голоморфной в D. |
||
Пусть S — компактное подмножество в D. Тогда если А, |
|||
А + |
і и |
A + s принадлежат 5, то |
|
t - s |
' g (А + t) —g (А ) _ g (А + s) —g (А ) \ |
||
\ |
t |
s |
|
|
|
1 |
С_ _ _ _ _ _ _ _ _ _g ( z ) dz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
|
|
2 ш J ( г — A )(z — А — t) ( г — А —s) ' |
|
|
|
Г |
|
где Г — простая замкнутая спрямляемая направленная кривая в D, охватывающая S и проходящая на поло жительном расстоянии от S и от границы множества D. Поскольку длина кривой Г ограничена и ограничена
Функции, преобразования, операторы |
161 |
подинтегральная функция, абсолютная величина инте грала в правой части равенства не превосходит M(g, s)< o o . Устремляя s к нулю, получаем
|
g f r + O - g W |
— g'W |
<1 |
s) |
|
|
t |
|
|||
для всех |
Заметим, что в качестве g (Я) можно |
||||
взять [/(Я), /г]. Поэтому если |
|
|
|||
ДЯ, t, |
- ) - 1 |
Ж * + 0 -/(*•) |
|
/ (Я + а) —/ (Я)\ |
|
то для Яe S
I [/(Я, t, s), А ]|< М (/, /г, s).
В силу принципа равномерной ограниченности
II/(Я, t, s)||< M (/, s),
откуда
ЬТ (/ (Л + *) - f W) - 1 |
(f (Я + s) - / (Я))|| < |
U - s IМ (f, s), |
|
так что существует (сильный) предел отношения |
|||
f(l + S) - f ( S) |
|
||
|
|
S |
|
при S —>0; обозначим |
его через /'(Я). Тогда |
||
/ (Я. + 0 — f (X) |
г (Я) < U | M ( f , |
s), |
|
t |
|
||
|
|
|
|
так что сходимость равномерна в 5. Поскольку |
|||
[Г (Я), |
А]*=^-[/(Я), h\, |
|
|
функция /'(Я) обладает теми же свойствами аналитич ности, что и / (Я), и, значит, f (Я) имеет сильные произ водные всех порядков.
Далее, если Я0 — точка, удовлетворяющая условиям теоремы, то
т |
ч |
- |
Ё |
а ] ( я |
- ѵ |
|
|
О |
|
|
|
6 Зак. 751
162 |
Глава |
Я |
|
|
для I А — А0 I < |
г. Но тогда |
|
|
|
lim |
п\ |
|
|
= 0 |
N->00 |
|
|
|
|
при любом h, |
откуда |
|
|
|
|
|
|
(А - A0f |
- > 0 . |
Наконец, |
|
|
[M W ] |
|
[А, Г М = -^7 |
f |
сГК. |
||
|
2 m |
J (Я-Я0)п+| |
||
Поэтому, выбирая в качестве Г окружность радиуса г с центром в точке Я0, получаем
|
[А, f(A 0)]< |
М II h II п\ |
|
||
так что для I А — Я01< г |
|
|
|
|
|
II |
(Я0)|| I я —Яо I“ |
^ |
2и |
М ( Я - Я 0)" |
< оо, |
S |
и! |
гп |
|
||
З а м е ч а н и е . 3.4. Понятие криволинейного интеграла Коши можно ввести двумя эквивалентными способами: либо понимать под
гJ f W d l
такой элемент из Я, что скалярное произведение его и любого другого элемента h из Я совпадает с
J [f(A), h\d%,
г
либо ввести это понятие непосредственно, как интеграл Римана, повторяя аналогичный процесс в числовом случае [6].
Пусть Р (х) — однородный полиномиальный оператор степени п. Тогда очевидно, что Р {х + АА) — полином
Функции, преобразования, |
операторы |
|
163 |
по X при фиксированных х я h я, |
в частности, |
является |
|
аналитической (целой) функцией |
от X. Напомним, |
что |
|
оператор Р(х) не обязательно |
дифференцируем |
по |
|
Фреше. С другой стороны, для любых hu .... |
hn из Я |
||
Р(х X\h\ + Х2ІІ4 + ... + Xnhn)
определяет полином относительно п комплексных пере менных Xh В частности, если обозначить
К (^1) ^2і • • • ) ^rt) ===:
|
|
+ Мя + ... + x nhn) |
то станет ясно, что |
К {' • •) — симметрическая п-линей- |
|
ная форма и |
|
|
P(h) = K(h, |
h, |
h ) = - £ r P m |
Попутно мы получили явное выражение для симметри ческой полилинейной формы, если известен соответствую щий ей полиномиальный оператор.
Теперь мы можем приступить к изучению случая, когда X — гильбертово пространство.
|
О п р е д е л е н и е |
3.19. |
Функция |
f(x), |
отображаю |
||||
щая X в Y, называется локально |
ограниченной, |
если |
|||||||
для любой точки X найдется такой шар S (х) с центром х |
|||||||||
и |
ненулевым радиусом |
(вообще говоря, зависящим |
|||||||
от х), |
что f(x) ограничена |
на S (х). |
|
|
|
||||
|
О п р е д е л е н и е |
3.20. Функция f(x) называется ана |
|||||||
литической .по Фреше в области D, содержащейся в Y, |
|||||||||
если |
она |
локально |
ограничена |
и |
дифференцируема |
||||
по |
Фреше |
в каждой точке из D. |
(Под |
областью |
мы |
||||
'понимаем |
здесь открытое |
связное множество, т. е. от |
|||||||
крытое множество, любые две точки которого можно соединить ломаной конечной длины.)
Т е о р е м а |
3.8. |
Пусть f (■) — аналитическая |
по |
Фреше функция в области D. Тогда для любой наперед |
|||
заданной точки |
x e Ö |
найдется такой шар S (х), |
что |
6*
164 |
Глава 3 |
в любой точке у из S(x) функция f(y) допускает раз- лэжение в ряд Тейлора
оо |
6 4 |
(JC, У - -V) |
|
f(y) = y |
|||
|
/гі |
||
О |
|
|
где
а п
Ьп!{х, h) = ± K f { x + \h)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку множество D от крыто, для любой его точки х найдется открытый шар
S{x) |
(скажем, радиуса г) с центром ,ѵ, содержащийся |
в D, |
на котором функция f ( - ) дифференцируема по |
Фреше и ограничена. Поэтому для любого заданного
элемента h |
из Н |
функция |
f (х + Xh) |
аналитична |
по X |
||||
для |
всех X, |
удовлетворяющих, например, неравенству |
|||||||
I X I < г/|| /г II. |
Тогда, согласно теореме 3.7, |
|
|||||||
|
|
п х + щ = ^ П ( ; , А)Я-В, |
|
||||||
где |
(*, Л)- ^ т П х + Щ |
L_o= |
j |
И £ + !Ц dt, |
|||||
|
|||||||||
в качестве Г можно |
взять |
окружность |
радиуса /'/||А||, |
||||||
Отсюда |
|
|
|
- |
,M{x)\\h\\n |
|
|||
|
ІІбНСг |
\ |
|
|
|||||
|
II б / |
(X, /1) |
(Г /||А ||)В — |
п \ |
|
Ja |
|
||
где |
М (х) — верхняя |
грань |
функции |
f( - ) на S(x). |
По |
||||
этому для II h II < г |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V' |
II bnf (х, Іі)\\ |
M(x)\\hr |
|
|
||||
|
JU |
n\ |
|
^ Zj, |
rn |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
итеорема доказана.
Заметим, что
II67 (х, /г)11<4^11/гГ
для всех / г е Я . Теперь можно показать, что при вы полнении условий доказанной только что теоремы