Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 0
Функции, преобразования, операторы |
165 |
6nf (х, h) — однородный полиномиальный оператор сте пени п по Іг и этот оператор непрерывен. Чтобы убе диться в этом, заметим, что для любых /г,, . . ., 1гп из Н функция f(x + X\h\ + ... + является аналитиче ской функцией п комплексных переменных Лг, если
S1u m hi к г,
и ее можно" разложить в степенной ряд по {Я,г}. Легко проверить, что
д д |
“Ь ^nhn) ^ — К [hi, . . . , hn) |
~дХ^~дХ[ |
есть непрерывная симметрическая /г-линейная форма и
W , h) = - y f [ x + Xh) ь=о
так что оператор bnf[x,h) непрерывен.
П р и м е р |
3.10. Рассмотрим дифференциальное урав |
нение |
A (t) х(і) + В (t) и ( t ) X (0 + С (t) и (t), |
x[t) = |
|
X(0) = |
xQ, |
где u{ ■) принадлежит пространству H = L2{0, Т)4 (на помним, что все рассматриваемые пространства ком плексны), а матрицы А (t), В [t) и С (t) квадратично ин тегрируемы на (0, Т). Перепишем это уравнение в виде
|
t |
|
x[t) = |
I (Л (s) + В (s) и (s)) X(s) ds -f h (t), |
|
где |
о |
|
t |
||
> |
||
|
h[t) = x0+ J C (s) и (s) ds, |
|
|
о |
и заметим, что для каждой функции и{- ) оно имеет единственное решение, принадлежащее X = L2(0, Т)п. Это обычный результат, но для наших целей его легко
166 |
Глава 3 |
получить, заметив, что приведенное интегральное урав нение имеет вид
|
|
а = Lux + h, |
где |
я' = л:(•), а Ьи — вольтерров оператор, определяе |
|
мый |
соотношениями |
|
|
L J = g, |
|
|
І |
|
|
g (t) = |
(AJ (s) + B(s)u (s)) f (s) ds. |
|
0 |
|
Решение уравнения |
можно представить в виде |
|
00
X= (/ — L „ r‘ А = 2 Luh = F {и).
о
Покажем, что функция F{u) аналитична по Фреше во всем пространстве. Докажем сначала ее локальную ограниченность. Для этого вернемся к нашему диффе ренциальному уравнению и применим стандартный прием оценки скорости роста решения. Пусть
т (0 = [ а (t), x(t)}.
Тогда
/n(/) = 2Re[(i4(/)-f B{t)u{t))x(t), а(0] +
+ 2 Re [С (0 и (t), а (І)\
и, следовательно,
Iт (f) I< ( IА (О I+ IIВ (О IIII и (t) I+ IIС (t) ИIи (/) II) т (t) +
+ 11С (О INu(t) II,
где мы воспользовались тем, что
т (О, |
1, |
1, |
m{t) < 1. |
Таким образом,
т (0 <11 и\\е(с + &)|| и |
0 < |
Т, |
откуда следует локальная ограниченность функции F(u). Покажем теперь, что функция F (и) дифференцируема до Фреше. Для «(•) и р(-) из Я обозначим через х{Х, t)
Функции, преобразования, операторы |
167 |
решение |
уравнения, соответствующее и + Хѵ, |
где |
Л — |
||||||||
вещественное (или комплексное) |
число. Тогда |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
■t |
Гу (Я, s) ds |
|
|
|
|
|
|
Х(К і) — X (0 , t) _ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Я |
|
J |
я |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
ß (s) (и (s) + Хѵ (s))) X (X, s) — |
|
|
||||||
У(Л, s) = |
(А (s) + |
|
|
||||||||
|
|
- |
(А (s) + |
ß (s) ы(s)) * (0, s) + XC (s) V (s) = |
|
||||||
|
= |
(А (s) + |
ß |
(s)и (s)) J у {X, о) do + XC (s) v (s). |
|||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s)— J у (X, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z(X, |
a) do. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Так как для любого числа X |
|
|
|
|
|||||||
- ^z(X, |
s) = |
(A (s) + |
ß (s)(u(s) + Xv (s))) z(X, s) + |
|
|
||||||
|
|
|
+ ß (s) ü (s) X (0, s) + XC (s) V(s), |
|
|
||||||
z(X, |
0) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то тот же прием оценки, что и раньше, дает |
|
|
|||||||||
|
|
|
sup |
sup |
II z (Л, s)||^ M (r) < оо. |
|
|
||||
Далее, |
|
| Я | < г |
0 < |
s < |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß |
(s)и (s))z (X, s) + |
XB (s) v (s) z (X, s ) + |
|||||
z {X, s) = |
(A (s) + |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
^ß (s) V (s) X(0, s) + XC (s) V (s), |
||||
так что |
на |
самом |
деле |
|| z (X, s) || |
стремится |
к |
нулю |
||||
вместе с X: |
sup |
II z (Л, s) II -> 0 |
при |
Л-»0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 < s < |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как
é (тг^ )= (лм + в м и w)(і&Д) +
+ В (s) V(s)X(0, s) + ß (s) V (s) z (A, s) -f C (s) v (s),
168 |
Глава 3 |
то при Я,-»-0 функция z{X,s)/X равномерно на отрезке [О, Т] сходится к функции z (s), где z (s) — решение уравнения
г (s) = (А (s) + В (s) и (s)) г (s) +
+ В (s) V (s) X(0, s) + С (s) V(s), z (0) = 0.
Наконец, при А,—>0
т
X (Я., і ) — X ( 0 , t) |
z{t) d t—>0. |
|
Таким образом, функция F (и) дифференцируема по Фреше. Ее дифференциал равен
бF {и, ѵ) = z,
а производная, естественно, принадлежит пространству ограниченных линейных операторов, отображающих Н в X. Поэтому если
6F(u,v) = Nu(v),
то |
N,i (ѵ) — z, |
2 = (/ — L„)~lМиѵ, |
|
||
где оператор |
Ми отображает Я в X: |
|
|
і |
t |
Ми (о) = w , |
w(t)= J B(s)o(s) a:(0, s)ds-{- J C(s)v(s)ds. |
|
|
о |
0 |
Следовательно, |
|
|
NU= ( I - L U)- 1MU.
Заметим, что если и — нулевой элемент соответствую щего пространства, то оператор Nu имеет вид
t |
t |
N0(V) = до, до {t) — J В (s) V(s) X(0, s) ds + |
J C (s) v (s) ds. |
о |
0 |
К этому же результату можно было прийти, восполы зовавшись тем, что
F{u) = ( I - l u)-'h.