Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
Функции, преобразования, операторы |
169 |
Легко проверить, что F(u) можно разложить в степенной ряд
00
О
где
б" (О, и) = (n!) {LuXo+ Lu~lKuC),
xQ- функция, принимающая на всем отрезке [О, Т] по стоянное значение х0, и
t
KUC ~ J С (s) и (s) ds.
о
Вряд ли нужно специально подчеркивать, что
LUo + L ? rlK uC
— однородный полиномиальный оператор степени п по и
ичто он принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта.
З а д а ч а . 3.12. Найдите полярное разложение для б" (0, и).
Глава 4
ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Обозначим через {T(t), 0} семейство ограниченных линейных операторов, отображающих гильбертово про
странство Я в себя. Если |
это семейство таково, что |
|
(i) |
Т{0) — тождественный |
оператор, |
(ii) |
T(ti + t j = T(tl)T(t3) = T(tj T(tt), |
|
то его называют полугруппой ограниченных линейных операторов. Мы будем называть его для краткости полугруппой (поскольку никаких других полугрупп в на шей книге нет).
Полугруппа Т (t) называется сильно непрерывной в на чале координат (или полугруппой класса С0 по термино логии Хилле и Филлипса [8]), если для каждого эле мента X е Я
(iii) II Т (t) X — X II-»-0 при / - > 0 + .
Из полугруппового свойства (іі) непосредственно следует, что сильная непрерывность в начале координат влечет сильную непрерывность справа при любом 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что для А > 0
T(t + А ) х — T(t)x=T(t)(T(A)x — x).
Для того чтобы установить непрерывность слева, вос пользуемся принципом равномерной ограниченности. Применяя свойство (ііі), получаем, что для любого L > 0
оsup ИГ(£) я II < 00 |
при всех хе=Н |
и, значит, |
М < оо? |
sup II T{t) II < |
9 < f < Л
Полугруппы линейных операторов |
171 |
откуда
II Г (0 д: — Г (^ — Д) X И=
= \ \ ( T ( t - b ) ) ( T ( A ) x - x) II ^ МII Г (А) X — л: И-> 0.
Более того, можно найти плотное подпространство в Н, на котором функция T(t)x бесконечно дифференцируема.
Для этого положим
t
У= { T( a) xda
|
о |
|
для фиксированного |
элемента л и |
фиксированного |
числа і > 0; справа |
стоит интеграл |
Римана. Тогда |
t
Т (А)у — у = J (Т (<х + А) л: — Т(а) х) da =
о |
t |
(+д |
= | Т (а) xda — J T{a)xdx —
до
*+д д
= J |
Т(а) xda — J |
Т (а) xda = |
||||
t |
|
о |
д |
|
|
|
д |
|
|
|
|
||
= J |
Т (а) (Т (t ) х) da —J |
Т (а) х da. |
||||
о |
|
|
о |
|
|
|
Так как для любого х |
|
|
|
|
||
I 7» X da — X |
X (JТ {<*) X — х) da |
|||||
|
|
|
^ |
sup |
II Т (а) X — XII —> 0, |
|
то |
|
|
0 < а < Д |
|||
_ПД)|— у _ |
Т ф х _ |
Х' |
||||
|
||||||
Обозначим через D множество всех элементов х, |
||||||
для которых (Г(А)х — х)/А сходится, |
и определим на D |
|||||
172 Глава 4
оператор А (называемый инфинитезимальным произво дящим оператором) равенством
|
А х = lim |
т(Д) X - X |
|
|
д |
Очевидно, |
что А — линейный оператор. Покажем, что |
|
множество |
D плотно в Я. |
Мы уже видели, что D со |
держит элементы вида |
|
|
|
t |
|
|
J Т (о) X do |
|
|
о |
|
и, следовательно, содержит линейное подпространство, натянутое на такие элементы, но тогда
t
lim -у f T(o)xdo — x
о
и, значит, D плотно в Я.
Прежде чем идти дальше, отметим одно характерное свойство роста ||7’(f)||. Обозначим
w (() = log II Г (Oll-
В силу полугруппового свойства |
|
|||
w (/, -Н 2Х |
ш (/,) + |
W {к)- |
||
Положим |
. с ш (і) |
|
||
(й0= |
. |
|||
1ПІ |
— |
|||
|
f> о |
1 |
|
|
Тогда для данного е > 0 |
найдется такое число а > О, |
|||
что |
|
|
|
|
—j 2- < |
©о + |
е. |
||
Очевидно, что каждое число t можно представить в виде t — ka + г, где k — целое число и О ^ г ^ а . Тогда
w (t) |
w (ka + г) ^ |
kw (а) |
, w (г) |
t |
ka-{- г |
ka + г |
ka + г |
Полугруппы линейных операторов |
173 |
Далее, в случае сильно непрерывных полугрупп опе ратор до (г) ограничен на отрезке [0, а], так что
um —р - <5 ©о + е,
<-» оо |
1 |
или (поскольку до (/)// ^ |
до0) |
lim |
W(О |
— р - = со0. |
|
< - » • 0 0 |
1 |
Таким образом, для сильно непрерывных полугрупп справедлива оценка
II Т (О II < Meta\
т. е. ||7’(/)|| растет не более чем экспоненциально.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь полу группы из класса С0, так как это единственный вид полугрупп, имеющий значение для приложений.
Определим для каждого х интеграл
оо |
|
|
R (Я) X = J е~и Т (t) X dt, Я > |
и0. |
|
о |
|
|
Тем самым для каждого Я задается |
ограниченное ли |
|
нейное преобразование: |
|
|
II R (Я) х ||< ( [ в " « I I Т (О IIdfjII X | |
| |
< IIXИ. |
Покажем, что множество значений оператора R (Я) для каждого Я > со0 совпадает с D — областью опреде ления оператора А. Для этого вычислим
00
(Т (А) — I) R ( k ) x = |
J е~и (Т (* + Д) х - |
Г (t) х) dt = |
|
О |
|
оо |
со |
|
= J e~u eKAT (t) X dx — J е~и Т (t) x d t ~ |
||
д |
о |
|
Д |
|
оо |
>= - J e“wjT (О X dt + (e^ - |
1) J е"*'Г (/) xdf. |
|
О |
|
А |
174 Глава 4
Согласно сказанному выше,
А
J |
е~и Т (t) X di->x, |
А —> О, |
о |
|
|
так что при Д—>0 |
со |
|
|
|
|
7 (д ) - / |
+ |
е~мТ (t) xdt |
и, следовательно, |
|
о |
|
|
|
Л /?(Я )х= — х + Я/?(Я)х |
||
для всех X: е Я . |
Если х е D (Л), |
то |
|
■ |
|
= J V * Н' + Д)*-Г(П< d l -» j ‘ e - 4 T ( l j A x d t = R ( > . ) A x .
о |
о |
|
Отсюда, в частности, следует, что |
Л —замкнутый опе |
|
ратор. |
Действительно, если х „ е£ ), |
хп—>х0 и Лх„-»г/, |
то из |
соотношений |
|
|
R (Я) Ахп= AR (Я) х„ = —- хп + ЯR (Я) хп |
|
вытекает, что |
|
|
|
R(A)y = — x0-\-XR (Я) х0= |
Л/? (Я) х0. |
Таким образом, XR(X)x0 — x0^ D . НотаккакЯ/?(Я)х0е£>, то х0е £ ). Поэтому
AR (Я) х0 = R (Я) Ах0 = R (Я) у,
или
ЯЯ(Я) (Лх0 — у) = 0
для каждого Я>со0. Так как
то для любого элемента J t e H
Ііш ЯR (Я) X = X -f lim AR (Я) х = х
оо