Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
Полугруппы линейных операторов |
175 |
и, следовательно, Ах0 — у. |
Мы доказали, в частности, |
что множество значений оператора R(X) совпадает с D. |
|
Действительно, если х е D, |
то |
R (А) Ах = — X + XR (Л) X,
откуда
X = XR (А) X — R (А,) Ах = R (А) (Ах — Ах),
а раньше мы видели, что множество значений опера тора R(А) содержится в D.
Кроме того, мы доказали, что |
|
|
|
R (А) (Ах — Ах) — X, |
х е D, |
|
(А/ — А) R (А) X = X, |
X е Я, |
т. е. |
оператор А/ — А имеет ограниченный обратный |
|
для |
каждого А > со0 и |
|
|
(А/ - Л)_| = Д(А). |
|
По этим причинам оператор R(А) называют резольвентой |
||
оператора А и обозначают через |
R{А; А). |
|
Некоторые свойства резольвенты
Перечислим наиболее важные свойства резольвенты,
(i) R{А; А) можно определить как решение уравнения
(А/ — Л )/?(А, A)x = x = R (А; Л) (А/- А)х, х е Я ( Л ) ,
для каждого А из полуплоскости Re А > <в0.
Это сразу следует из сходимости преобразования Лапласа
J е~мТ (t)x dt
о
в полуплоскости ReA>cü0. Таким образом, резольвент ное мноэюество оператора А (т. е. множество комплек сных чисел А, Для которых оператор XI — А имеет огра ниченный обратный) содержит полуплоскость ReA>co0. Для любой точки Аэ из резольвентного множества опе ратора А оператор /?(А; А) аналитичен в окрестности точки А0 и удовлетворяет резольвентному уравнению
R (А; А) - R (ц; А) (ц — X) R (A; A) R (ц; А).
176 |
Глава 4 |
В самом деле, для всех ц, для которых
ІЦ-ЛоПІЖѴ. і4)|| < 1,
представим (/ — (ц — Я0)Я(Я0; Л))-1 в виде ряда Неймана:
|
U — (ii — h)R (Я; Л))"1= |
2 (р, - Я)" R (Я; А)'\ |
||
Легко |
проверить, |
что |
|
О |
|
|
|||
|
R (и; л) = |
(/ + (|1 - Я) R (Я; Л)Г' R (Я; Л), |
||
так что резольвентное уравнение удовлетворяется. |
||||
(ii) |
Подпространство |
R(k\ A)D для каждого Я > со0 |
||
плотно в D и, следовательно, в Я. |
||||
Действительно, пусть y — R(Я; А)х для некоторого х |
||||
из Я. |
Так как множество D |
плотно в Н, то в D най |
||
дется |
последовательность {хп}, |
сходящаяся к х. Следо |
||
вательно, |
г/ = 1іт R{%\ А)хп |
|||
|
|
|||
и хп G Ö . В частности, |
множество значений оператора |
|||
^(Я; А)п плотно для каждого положительного целого числа п.
Это показывает, что область определения опера тора Ап плотна, поскольку она содержит множество значений оператора /?(Я; А)п. В действительности даже множество
0 с о = П ^ М Л)
п
(иногда обозначаемое через £)(Л°°)) плотно в Я. В самом деле, рассмотрим класс элементов вида
оо
J e- I/lr 3ße~ktT (i) xdt, Я > ©о. X е= Я.
о
Этот класс плотен в Я и содержится в DM, ибо для функция Т ( f ) X бесконечно дифференцируема.
(iii) Для X из D
Нт {K2R(K-, А)х — Кх) = Ах.
Полугруппы линейных операторов |
177 |
Это очевидно, так как
l 2R (Я; А) X - Хх = XR (Я; Л) Л.ѵ.
(іѵ) Пусть Т — ограниченный линейный оператор. Тогда (из эвристических соображений)
(Я/ - (А + Т)Г' = (Я/ — Л — Г)-1 =
= Я(Я; Л)(/ -77?(Я ; Л))"1.
Далее, для достаточно больших Я > Я0
II TR(X, Л ) | | < ѵ < 1
и, следовательно, Я принадлежит резольвентному мно жеству оператора Л + Т для всех достаточно больших Я. Кроме того,
/г(я; |
л + г) = (я/ — (л + т))~1= ^(Я; л) S (Г/г(я, А)Т |
||||
и для А, > Я0 |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
||
II R (Я; Л + т) II < II R (Я; Л) || (1 + 1| TR (Я; Л) ||Г 1< |
|||||
(ѵ) Справедлива |
оценка |
<11 R (Я; Л) ||(1 + у )“ 1 |
|||
|
|
||||
|
д а ; л >“ " < |
- + + |
- • |
* •> “«■ |
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
R (Я; Л)+ѵ = |
|
|
|
|
|
оо |
со |
+<т"> |
Г (о г+, |
. . . + |
0Гxda,„) . . . dan, |
= J |
. . . J в -к (а >+ - |
||||
оо
так что
со |
оо |
II/г(Я; Л Л К /М f ... |
I в-Ч»,+ - + в л) х |
6 |
о |
X е'!й>0(Н+ "• +ая) cfCTj ...dor,,
( Я — щ ) п
178 |
Глава 4 |
Построение полугруппы по ее инфинитезимальному производящему оператору
Для любого X > со0 полугруппа
f(t) = e - KtT(t)
также сильно непрерывна в начале координат, а ее инфинитезимальный производящий оператор равен
А = А - XI
(и определен на том же множестве D, что и Л). Кроме того,
II f{t) II < Ме~и е ^ < М.
Полугруппа Т (t) называется |
сжимающей, если |
II Т (t) Иs^ l. В этом случае ш0 = 0 |
и |
II R (Л; |
А>0 . |
Почти все полугруппы, имеющие практическое зна чение, оказываются сжимающими, и для них справед ливо следующее важное утверждение, доказанное Хилле и Иосидой и позволяющее получить ответ на фундаментальный вопрос: в каких случаях оператор порождает сжимающую полугруппу?
Т е о р е м а 4.1. Пусть А — замкнутый линейный опе ратор с областью определения D, плотной в Н. Для того чтобы оператор А был инфинитезимальным поро ждающим оператором для некоторой сжимающей сильно непрерывной в начале координат полугруппы, необхо
димо и достаточно, чтобы для |
каждого X |
> 0 оператор |
|
XI — А обладал ограниченным |
обратным |
и для' всех |
|
п ~ ^\ выполнялось неравенство |
|
|
|
||((W — л г ' Л к |
^ , |
а ,> 0 . |
|
З а м е ч а н и е 4.1. Эту |
теорему можно ослабить, |
|
заменив требование „для |
каждого X > |
0“ требованием |
„для каждого достаточно большого VS |
, |
|