Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость уже доказана; докажем достаточность. Для этого нужно лишь найти обратное преобразование Лапласа. Но нам хочется построить его только .по значениям прямого преобра­ зования вдоль полуоси положительных вещественных чисел:

Я(А; Л), А>0 .

Для числового случая такой метод предложен Уиддером. Однако нам хотелось бы исходить из того, что речь идет о полугруппе; соответствующий подход был почти одновременно разработан Филлипсом, Феллером и Миядерой (см. Хилле и Филлипс [8]).

Основной во всех этих подходах является идея использовать следующий факт: для всех х из D

А)х — Хх-+Ах при А-э-оо.

Докажем это строго. Так как

О

Для того чтобы показать, что Sk(t)x сходится при А->оо, применим прием Данфорда и запишем

равномерно сходится в каждом компактном /-интер-

группа T(t) сильно непрерывна. Таким образом, осталось

Далее, для р. > О, х е D (Л)

= lim (р/ — В (Я,)) 'л:=/?(р; А)х,

а так как множество D (Л) плотно в Н, то это спра­ ведливо для всех л:. Область определения инфинитези­ мального производящего оператора совпадает с мно­ жеством значений резольвенты, и потому этот оператор действительно равен А.

С л е д с т в и е 4.1. Пусть А — инфинитезимальный производящий оператор сильно непрерывной сжимающей полугруппы. Тогда T(t)* — также сильно непрерыв­ ная сжимающая полугруппа с инфинитезимальным производящим оператором А*.

так что Л* порождает сжимающую полугруппу, которая сильно непрерывна. Действительно, согласно тео­ реме 4.1, эта полугруппа получается с помощью пре­ дельного перехода

пространствах этого достаточно для сильной непрерыв­ ности.

Специальные полугруппы

Если бы мы смогли еще больше уточнить характер рассматриваемой полугруппы, мы смогли бы доказать более сильные утверждения. В связи с этим рассмотрим некоторые частные классы полугрупп, представляющие интерес для приложений.

Компактные полугруппы

Сильно непрерывная в начале координат полугруппа операторов называется компактной, если для всех t > О операторы из этой полугруппы компактны.

(i)полугруппа Т (t) равномерно непрерывна при t > 0;

(ii)ее инфинитезимальный производящий оператор А

имеет чисто точечный спектр, образованный счетным мнозкеством значений {Яй} с соответствующими собствен­ ными векторами {qpft}, причем последовательность {ЯА}

не имеет конечных предельных точек;

оо

(iii) /?(Я; А )— J e~u T{t)dt, Я > ш, интеграл суще-

о

ствует в равномерной операторной топологии;

П. Лак-су) свойство равномерной непрерывности. Для

любого заданного е > 0 это множество можно покрыть

Т(t) ер/, = %k (0 фй.

Всилу полугруппового свойства

я* (*) = еѵ .

так как собственные значения Я* (;t) непрерывны. Но поскольку единственно возможная предельная точка

последовательности {eAfc<} — это нуль, то {Xk} не может иметь конечных предельных точек. (Это не мешает по­ следовательности {Яй} быть ограниченной снизу!) Из сказанного выше следует также, что векторы фй при­ надлежат области определения оператора А и

Дфй = ЛйФй-

Но так как

W)(C(T(Щ ),

где ст(Л) — спектр оператора А, то А имеет чисто то­ чечный спектр {Я-й}- Отсюда сразу видно, что для ХФ%к

№ л >ф* = т ^ г -

Поскольку полугруппа T(t) равномерно непрерывна при

t > 0, интеграл

со

Я (А,; А) = J е -м T{t)dt, Я > со,

о

существует в равномерной операторной топологии. На­ конец, из резольвентного уравнения вытекает, что ре­ зольвента ^(Я; А) компактна для каждого Я=£А^.

Диссипативные полугруппы

Мы получим еще более сильные результаты, если ограничимся рассмотрением гильбертовых пространств. Пусть Я — гильбертово пространство (вещественное или комплексное). Замкнутый линейный оператор с плот­ ной областью определения называется диссипативным, если для всех х е й ( Л )

[Ах, X] + [х, Ах] < 0.

ства

[ Ах, дг] + [я, Ах] = 2Я[х, х]

следует, что Я<!0. Поэтому если Я > 0, то Хх— А х ф 0 для хфО. Обозначим Ял: — Ах — у. Тогда

[Ял: — Ах, х] + [л:, Ял: — Ах] ^ 2 [Ял:, х],

откуда

[у, х] + [х, у] > 2 [Хх, х].

Другими словами, если Я принадлежит резольвентному множеству оператора А, то

или

Я.II/?(Я; А) у II2 < || R (Я; Л )||||у||2

и, значит,

Я|| /? (Я; А) |Р < ИR (Я; А) [|,

откуда

IIR (X-, А) II < 4 .

Таким образом, если резольвентное множество опера­ тора А содержит положительную полуось, то А поро­ ждает сжимающую полугруппу. На самом деле спра­ ведлива следующая теорема, принадлежащая Филлипсу.