Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

186

Глава 4

 

при условии, конечно, что функция

f(0, у) дифферен­

цируема.

Рассмотрим эту задачу как

абстрактную за­

дачу Коши. Прежде всего надо выбрать подходящее функциональное пространство, что в свою очередь за­ висит от того, какую задачу оптимизации мы решаем.

Для

иллюстративных

целей

мы исследуем здесь

два

из возможных вариантов.

 

А — дифференциаль­

(I)

Пусть

Н = Ь2{— оо, оо), а

ный

оператор А = — д/ду.

Областью определения

оператора А

пусть

будет

класс

функций / ( • )

из

L2(—о о ,

о о ) ,

производные которых также принадлежат

Ь 2 ( —оо,

оо); тогда Л —замкнутый линейный оператор с

плотной областью определения, и первостепенный инте­ рес для нас представляет его спектр. Поэтому займемся изучением уравнения

+ r = f, g -e L 2(— 00, 00), f e D ( A ) .

Так как

M = - f ' ^ f ( y ) = e - 4 ( 0),

то точечный спектр оператора А пуст. Для решения неоднородного уравнения проще всего воспользоваться преобразованием Фурье, заметив, что преобразование Фурье для /( •), обозначаемое ф/(со), должно удовлет­ ворять соотношению

% (ш) = Я

ісо *

 

так что число Я принадлежит

резольвентному

множе­

ству, если его вещественная

часть неравна

нулю.

С другой стороны, поскольку резольвентное множество должно быть открыто, мнимая ось действительно является спектром оператора А. (Читателю, возможно, будет интересно найти множество значений функции /со/ + f'.) Из сказанного выше следует также, что для Я > 0

II №

Л ) г 1 1

С И * ( “ >I2

da

 

J2 = Я2 + со2

Я2

и вообще

IIR (Я; Л ) £ ||< I Re Я Г

Полугруппы линейных операторов

187

Поскольку условия теоремы Хилле — Иосиды оказы­ ваются выполненными, оператор А порождает полу­ группу сжимающих операторов.

Опишем эту полугруппу приближенно. Преобразо­ вание Фурье оператора

е<ѵя(Л; л)-*./)

имеет вид

g X 3 (l/(X + /c o ))

if > О, Я > О,

g — t (XCg)/(X -H g)))^ |^ ( с о ) .

Ясно, что при Я—>оо оно

стремится

к е~ш ^ ( (со) и,

значит, полугруппа T(t) задается соотношениями

T(t)f = g,

 

 

g(y) = f(y — f)>

— оо < г / < о о ,

что и следовало ожидать.

В связи с

этим заметим,

что абстрактное уравнение

 

 

X(t) =

Ах (t)

 

имеет единственное решение для заданного начального значения д:(0) из области определения оператора А. Если f(t)<^D (Л), то f (у — t) е D (Л), и потому функция НУ — Ь абсолютно непрерывна, а уравнение с частными производными удовлетворяется поточечно почти всюду по у. Можно также проверить, что

оо

7? (Я; A ) f = [ e~MT(t)f dt.

о

Поскольку множество значений резольвенты R (Я; Л) содержится в области определения оператора Л, соот­ ветствующая функция абсолютно непрерывна и

7? (Я; A)f==h,

h (у) = Jоо e~u f{y — t) dt,

о

а это, как легко видеть, приводит к тому же резуль­ тату, что и раньше,

188

Глава 4

(II) Рассмотрим теперь пространство Н = L2(0, оо). Если, как и в случае (I), положить А = — д/ду на множестве всех функций /(■), производные которых также принадлежат Н — Ь2{0, оо), то вскоре мы столк­ немся с трудностями. Например, уравнение

Ѵ + /' = 0

имеет решение

Ңу) = е -Ч (0 ),

которое для всех X > 0 принадлежит L 2(0, оо). Поэтому, если нас интересуют решения абстрактной задачи Коши для дифференциального уравнения с частными произ­ водными, нам придется сузить область определения оператора д/ду. Вообще можно предложить, конечно, много таких сужений, даже если потребовать, чтобы их области определения были плотными. В нашем слу­ чае легко видеть, что добавление требования f{0) = 0 исключает возможность указанного выше решения. Поэтому можно попытаться сузить оператор д/ду на множество

D ( A ) = {f: П 0) = 0, / ( • ) , n - ) e L 2(0, оо)}.

Очевидно, что множество 0(Д) плотно, а оператор А = — д/ду, определенный на этом множестве, замкнут. Тогда уравнение

4 + f' = g

имеет при X > 0 решение

и

f { y ) = \ e ~ X{y~l)g{Qd£, 0 < у < о о , 0<Х,

о

которое,

очевидно, принадлежит области определения

оператора А. Более того,

преобразование Фурье этого

решения

имеет вид

 

 

ОО

оо

Ь (и) = { e~iwjf (у) dy =

х +!/m J e~imJg {у) dy, Х >0,

о

о

и, следовательно,

 

Полугруппы линейных операторов

189

что позволяет применить теорему Хилле — Иосиды. Кроме того, можно сразу показать, что преобразование Фурье функции R{X\ А)'1g равно

J еia,Jg (у) dy

_о____________

(Л + ias)n

и потому преобразование Фурье для eVRiX' A)tg равно

^ J e~imJg (у) dy j е/'.чда+іи).

Таким образом, преобразование

Фурье для

T(t)g

(где

 

Т (t) — полугруппа,

порожденная

 

оператором

А) равно

 

ОО

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

е - Ш J e - i m j g

d y

= I

e - i m j g ( у _

f) dy>

 

 

0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

' (У-

t ),

t <

y,

 

 

 

T(i) g — h,

h (y) =

 

 

 

0,

 

0 <

у < t.

 

 

 

 

 

 

 

 

В обоих рассмотренных

случаях

 

 

 

 

 

| | Г ( Д ) - Л |

= з и р | | ( Г ( Д ) - / ) / | | >

/ 2 ,

А

ІШ=І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(чтобы убедиться в этом,

достаточно положить f{y) = О,

 

у > А). Аналогично

для

любого

 

t > 0

и

фиксирован­

 

ного А > О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| | 7 ’ ( / +

Д ) - 7 ' ( / ) | | >

/ 2 .

 

 

Другими словами, полугруппа T{t) не может быть равномерно непрерывной для всех t > 0 (и, конечно, для 1= 0, так как иначе ее инфинитезимальный опе­ ратор был бы ограниченным). В обоих случаях урав­ нение

X - Ах

не имеет решения для х(0) не из области определения оператора А! Для него не существует и функции Грина, если только не используются обобщенные функции.

190

Глава 4

В случае (II) спектром оператора А служит полу­

плоскость

ReX^O.

Заметим также, что производные начальных условий из области определения оператора А существуют в дей­ ствительности и в гораздо более „сильном“ смысле.

П р и м е р

4.2.

У р а в н е н и е

т е п л о п р о в о д н о ­

сти. Рассмотрим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

df

_

 

d*f

—

СО <

X < ОО,

 

 

 

 

 

dt

~

дх2

 

 

 

 

 

’

 

 

 

 

считая,

что

функция

/(0 , х)

задана,

0 ,

f(t, - ) е

e L 2( - o o ,

оо). Пусть оператор А — д°-/дх2 определен на

множестве

функций

f ( - ) e Z . 2(— оо, оо),

для

которых

/'( • ) е

/.g e —

оо,

оо)

и /"(■) (= L2(— оо, оо).

Это, в част­

ности,

означает, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(— оо) = f (+ оо) = 0,

 

 

 

 

 

П ~ ° ° ) = П + ° о ) = 0.

 

 

Ясно, что область определения оператора А плотна.

Далее,

уравнение

 

Xf - f " = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет решения е^и ,

е~Ѵм, и ни одно из них не при­

надлежит L2(—оо,

оо).

Уравнение

 

 

 

K f - f " = g

проще всего решить с помощью преобразования Фурье

(Я, + ш2)%(сй) = фг ((й).

Ясно также, что для того,

чтобы i |) g ( c ü ) / ( Ä + со2 ) было пре­

образованием Фурье некоторой функции из L2(— оо, оо),

необходимо, чтобы Re А, >

0. Следовательно, если К > 0,

то

 

так что можно применить теорему Хилле — Иосиды. Совершенно очевидно, что преобразование Фурье для

gVR (?.; AUf = y А-2"/? (Я; А)п tn I

о

Смотрите также файлы