Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл (6,37Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Полугруппы линейных операторов

191

равно
( s (яѴсоТ^г) ^		(cö) =	èw/№+*4,(®)
и, таким образом,	полугруппа Т (t)f имеет преобразова
ние Фурье
lim	(со) = (е~ш ) (ш).
Отсюда		00
		00
T{t)f = h,	h(y) =	J G{t, у — x)f {у) dy,
г д е
G(t,	X)		At
	Ѵ Ш ехр		At

Осталось только отметить, что эта полугруппа сохра няет положительность операторов перехода! Кроме того, для любой функции f и любого числа / > О

T(t)fesD(A)

(на самом деле даже Т (t) f е D (Л00)), хотя f<£D{A). Далее, из тождества

\ \ T { t + h ) f - T { t ) f \ f = J			[e~2ia>1) (е~“зл — 1)2\| (ш) I2 da
следует, что		—oo

limII T{t + K ) -			Г(ОІ\|->0,		*>0.
Д-И)
П р и м е р	4.3.	У р а в н е н и е		Ш р ё д и н г е р а для
отдельной частицы с массой m и нулевым						потенциалом
. ,	ді\|>	Л 2	—	ОО <	X <	оо,

1 1ф Р d x = 1,

представляет собой интересный вариант примера 4.2. Определяя А, как в примере 4.2 (и, безусловно,

192 Глава 4

полагая Н = Ь2{— оо, оо)),	имеем
<3ф	ih	<?2ф
ді	2т	дх2
Пусть
h
2т = Р -
Тогда		д2
А =		д2
А =	ір дх2 ■
и уравнение
— i p f " = g ,		Я > О ,

имеет решение, преобразование	Фурье которого равно
=	і > 0 .
Тогда

II № , Д ||< М

и, следовательно, А порождает сжимающую полугруппу. Преобразование Фурье для éK,R(}--A)if равно

е ? Л / ( Л + ш 3р ) ^

= ] j m e VR (?.; A) t - U j — у ^ Д

Лоо

так что преобразование Фурье для Г (£) равно е~1арр1^ {(а). Отсюда, в частности, следует, что

II г (О/II =*11/II,

и Т (0 на самом деле оказывается группой: ÖO

T(t)f = h, h (у) = J g(t,y — x)f(x)dx.

Теперь она уже не является равномерно непрерывной

при t > 0, и полугруппа Т (/) не				компактна.
П р и м е р	4.4. В о л н о в о е			у р а в н е н и е . Простей
шее одномерное волновое уравнение имеет вид
д2і	_	д2[	— оо < * < оо, t > О,
ді2 ~		дх2 ’

Полугруппы линейных операторов

193

с краевыми условиями

f(Q,x)

-ff(о. х )

Пусть f! ( • ). f2 ( ■) е ^2 ( - ° ° J

Лі (*. *) =

T ], (/, х) =

= f l (X),

=h W-

°°)- Положим

df (f, *) dt

d f (<, -V-) dx

Тогда исходное уравнение можно		переписать в виде
дНі (f, *) _	дт)2 (t,	х)
dt	dx
dr\|2 (t, а:) __	дгц (t,	x)
dt	âx

Обозначая через л(^*) вектор-столбец с компонентами Лі (t, х), Лг (t, х), получаем

		дл (Л х) =		Ат\ (t, х),
где		dt
где				â -
				â -
				дх
				0
Итак,	оператор	А	определен		на	классе функций
Л (*)={лі (х), ЛгМ)		из	гильбертова		пространства # =
= Lo( — оо, оо) X		(—	°о, оо),	первые производные кото
рых тоже	принадлежат Н. Оператор					А диссипативен:
поскольку		Ш ,	+		о,
поскольку
	№ f] = [ Q . h ] + [ % . t , ] = o-
В частности, если		\ k \ f - A f ,		то \|А,\| =		0.
Далее,	уравнение

Ч — Af = g

7 Зак. 751

194

Глава 4

соответствует

системе

уравнений

Dfi =

Xf2—

Df2 = Xf[ — gl,

где

£> = d/öx. Ясно,

что при X >

0 эта система

для

ка

ждого j e f f

имеет

в Н единственное решение.

Поскольку оператор А диссипативен, этого доста

точно, чтобы

показать, что

|І^(Я; Л ) /||< Ш ,

Л >0 .

Действительно,

[ gfl,-

[Xf — А f, f ]

откуда [ g , f] = X[f, f],

так

что

Ч f, Ж

I lg

Ilf II.

т.е.

I l f II*£5I I g||Д , и утверждение

доказано.

сильно

не

Таким образом,

оператор

А порождает

прерывную полугруппу, для которой при /

е О ( Л )

if[T {t)f,

T(t)f} =

Поскольку

область

определения

оператора

А плот

на,

это означает, что

т ( O f II—

II f

для

всех f е Я , т.

е.

Т (t) — изометрия. На самом же

деле мы построили даже группу:

для каждого t опера

тор

T{t) обладает ограниченным

обратным.

Дифференциальные уравнения. Задача Коши

Пусть А — инфинитезимальный порождающий опера тор сильно непрерывной полугруппы (не обязательно сжимающей). Рассмотрим задачу Коши для дифферен циального уравнения

X {t) = Ах (t), / > 0,

где значение л: (0) задано и принадлежит области оп ределения оператора Л. Тогда

x{t) = T(i)x(0)

Полугруппы линейных операторов

195

дает одно из решений, поскольку, как известно,

j i Т (if)X(0) = AT (t) X(0).

Интересно выяснить, единственно ли это решение. От вет будет положительным, если потребовать дополни тельно, чтобы

IIX (t) — X(0) У-*■0 при t -> 0 + .

Очевидно, что решение T(t)x(0) обладает этим свойст вом. Предположим, что существует другое решение, обладающее этим свойством. Тогда их разность у (t) удовлетворяет условиям

у (0 = Ау (/),
</(0) = 0.
Положим для каждого t >	0
z(s) = T(t — s)	у (s), 0 < s < t.

Функция z(s) сильно дифференцируема (и абсолютно
непрерывна) и	і
	і
z {t) — z (А) =	I ~ z(s) ds, 0 < Л < t,
	А
в то время как
z{s) = Т (t -	s) у {s) - Т {t — s) Ay (s) = 0.

Поэтому

z{t) = y 00 = z(h) = T {t — k) у (A).

Таким образом, поскольку г/(Д)->0при А-^-0, имеем

z{t) = y (0 = 0,

а так как это верно для всех t > 0, то функция y{t) тождественно равна нудю,

196	Глава 4
Неоднородное уравнение
Рассмотрим	теперь неоднородное уравнение
	X (t) = Ах (() +	и (О, 0 <	t <	Т,
с заданным	начальным	условием	д:(0).	По аналогии
с конечномерным случаем можно ожидать, что
		t
x { t ) = T (t) X(0)		+ J Г (t — s) и (s) ds

будет единственным решением (если потребовать не прерывность в начале координат). Однако сначала надо разобраться, что понимать под выписанным выше ин тегралом. Минимальные требования, предъявляемые к функции и ( •), таковы:

(i) для каждого г/еЯ скалярное произведение [«($),//]

измеримо по s e [ 0 ,		Т] (слабая измеримость);
т
(ii) J	II« (s) \|Р ds <	оо.
о
Тогда в	Н существует такой элемент y(t), что