Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

С другой стороны, в отличие от конечномерного слу­ чая необходимо ослабить понятие „удовлетворяет диф­ ференциальному уравнению“. Теперь будем считать, что x{t) удовлетворяет дифференциальному уравне­ нию, если для каждого элемента у, принадлежащего области определения оператора А4 (а эта область плотна),

- J - И О , у ] = [ * ( * ) . Л 'у ] + [ы (/), г/]

почти всюду для t е (О, Т)

и

X (t) = Т (i) X (0) + Jt Т {t — s) и (s) ds

о

является единственным решением нашего уравнения. Докажем сначала единственность. Допустим, что суще­ ствуют два таких решения. Тогда для каждого хе£>(Л*) их разность y(t) удовлетворяет соотношениям

■ji [У if), х] = [у (t), Л*х] почти всюду для t <= (0, Т),

IIУ (t) II-> 0 при t-+0 + .

что и требовалось доказать.

Если наложить на и (t) дополнительно условие глад­ кости, например потребовать, чтобы функция и (t) была сильно дифференцируема и «(0) = 0,то решение

і

о (0 = I T(t — s) и (s) ds + Т (/) X(0), t( O ) e l) (Л),

Доказательство этого утверждения предоставляется чи­ тателю.

Другой замечательный факт в этой связи состоит в следующем. Пусть пространство Я сепарабельно. Обо­ значим через Я (Г) гильбертово пространство слабо из­

причем скалярное произведение в этом пространстве

задается формулой

т

[и, ü}=-- J [u{t), V {t)\dt.

о

(Проверка того, что это пространство действительно является полным предгильбертовым пространством, пре­ доставляется читателю.)

t

V (t) — J Т (t — s) и (s) ds

о

определяет линейный оператор L, отображающий Я (Т) ' в Я (Т). Этот оператор принадлежит классу операторов Гильберта — Шмидта, поскольку

т т

J J||Г (t — s) Ip dt ds < oo.

о0

Кроме того, функцию Lu можно сколь угодно точно приблизить функцией Lun, где ип е D0.

где, как и раньше, А — инфинитезимальный порожда­ ющий оператор некоторой сильно непрерывной полугруп­ пы Т (t), В принадлежит пространству Я, а и (і) — чис­ ловая функция, измеримая по Лебегу и такая, что

т

J II и (0 \fdt<oo

о

для любых Т > 0. Будем называть объект, описывае­ мый уравнением (S), системой, а элементы простран­

обозначим через ЩГ). Систему называют управляемой,

если множество плотно в Н.

т

Заметим, что й(Т) можно представить в виде объ­ единения компактных множеств. В самом деле, оператор

г

L (и) = J Т (Т — s) Ви (s)ds,

о

отображающий Ь2(0, Т) в Я, компактен (в действитель­ ности принадлежит классу операторов ГильбертаШмидта) и переводит единичный шар из Ц (0, Т) в замкнутое и, значит, компактное множество.

По аналогии с обозначениями в конечномерном слу­ чае будем понимать под В*ѵ скалярное произведение

[Я, а].