Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Предположим, что множество (J Q'(T) неплотно. Тогда

т

найдется ненулевой элемент у, для которого [ЩГ), г/] = 0 при всех Т, т. е.

т

J [u(s), B 'T { T - s )'y ] d s = ü

о

для всех и (•) е Z-2(0, Т). Поэтому В'Т (Т — s)* у = 0, или

что приводит к противоречию.

С л е д с т в и е 4.2. Для того чтобы система (S) была управляемой, необходимо и достаточно, чтобы множество {T(t)B: 0} было плотно в Н.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно проверить, что усло­ вие следствия эквивалентно условию теоремы 4.4.

З а м е ч а н и е 4.3. Теорему 4.4 легко обобщить на случай, когда функция и( ■) /г-мерна, и даже на случай, когда она принимает значения в другом гильбертовом пространстве.

L2(0, Т) можно представить в виде суммы элемента из нуль-пространства оператора L и элемента из замыка­ ния множества значений оператора L*. Заметим, что

Наблюдаемость (приведение пространства состояний)

Рассмотрим систему

х (/) = Ах (t) + Ви (t), V(t) = Сх (/),

где С — ограниченный линейный оператор, отображаю­ щий Н в другое гильбертово пространство Д0. Как принято в приложениях, будем называть «(•) входом, а V(•) выходом системы. Будем говорить, что система приведена (т.е. имеет приведенное пространство состоя­ ний), или наблюдаема, если из равенства

единственно тогда и только тогда, когда система при­ ведена.

Данную систему всегда можно переписать для при­ веденного пространства состояний так, чтобы сохранить

есть замкнутое линейное подпространство в Н. Обозна­ чим через НI его ортогональное дополнение, а через Р соответствующий оператор проектирования. Легко ви­ деть, что

f{t) = PT(i) Р~1

определяет сильно непрерывную полугруппу на Н\ с ин­ финитезимальным порождающим оператором Ä = P A P ~ l.

Кроме того, так как С20 = 0, то

Разумеется, С, как и раньше, является ограниченным линейным оператором, но теперь он определен на Я (.

Управляемость. Продолжение

Точно так же как мы описали систему в приведен­ ном пространстве состояний, можно дать описание только для управляемых состояний, но тогда это опи­ сание будет соответствовать лишь управляемой части системы. Сохранив все обозначения, введенные в раз­ деле об управляемости, обозначим через множество

управляемых, или достижимых, состояний:

тогда І,с — линейное подпространство. Это непосредст­ венно вытекает из того, что

204 Глава 4

через T(t), а соответствующий инфинитезимальный по­

рождающий оператор через А. Заметим, что Т (t) — сильно непрерывная полугруппа в гильбертовом про­ странстве 2С. Наконец, В принадлежит 2С, так как В есть не что иное, как предел элементов вида

у Jt T(s) В ds, t-> 0,

о

и каждый из них принадлежит 2„.

Таким образом, система, ограниченная на простран­ ство управляемых состояний, описывается уравнениями

где Pc — оператор проектирования на 2е.

Если система в пространстве состояний Н неуправ­

и, поскольку

0

,v(0)= J T{ — s)Bv(s)ds

- T

для некоторого элемента v (• ) или предела последова­ тельности таких элементов, можно записать

1

v{t)= I W(t — s)u(s)ds,

где

W{t) = CT(t)B.

Итак, мы показали, что уравнения, описывающие динамику системы, всегда можно преобразовать так, чтобы в них использовалось лишь приведенное про­ странство состояний. Предположим поэтому, что система приведена. Возникает вопрос: можно ли, располагая лишь зависимостью между входом и выходом (одним скалярным входом и одним скалярным выходом)

t

v { t)= J W (t — s)u(s) ds,

восстановить соответствующую полугруппу, т. е. по­ строить такое же описание этой динамической системы, как то, с которого мы начали? Совершенно ясно, что

мы будем предполагать, что функция W (t) непрерывна при / > 0 и

11F(О I ^ М ехр Я t

(W(t) экспоненциально растет на бесконечности). Обозна­ чим через Б подпространство функций и( • ) е Я 2 (— оо,0), отличных от нуля лишь на конечных интервалах, а через L отображение, определяемое соотношениями

ехр Я/,

где Ми зависит от функции и( •).

Обозначим через Я (а) класс таких (измеримых по Лебегу) функций g (•), что для фиксированного а > 2Я

00

1 g(t)2e~aldt < оо.

о

Задавая скалярное произведение равенством

оо

[h, g] = \ h{t) g (f) e~at dt,

о

мы наделяем Н(а) структурой гильбертова пространства, причем L отображает £ в Н(а). Пусть Бд — образ мно­ жества Б при отображении L:

(Подпространство состояний Б^ плотно в топологии пространства Н{а). Если исходная система была опре­ делена в приведенном пространстве состояний, то, есте­ ственно, равенство L« = 0 влечет за собой и = 0.)