Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Легко видеть, что полугруппа 5(0 сильно непрерывна.

так что S{t)Lu = Lv, o e l

Заменим функцию W (t) ее полугрупповым пред­ ставлением W(t) = CT(t)B и заметим, что

S(t)Lu = CT(s)T{t)xu, s > 0,

где

о

хи — [ Т(— а) Ви (о) da,

и

[Lu, Lu\H(а) = [Rxu, su]ff)

где

ности W принадлежит замыканию (в Н(а)) множества 2Д. В самом деле, последовательность функций

бражение множества Ед в множество значений опера­

тора jR:

о

М (Lu) = хи — J" Т ( — сг) Ви (а) da.

—оо

Оно устанавливает линейное взаимно однозначное соот­ ветствие между Ед и Ее (элементы вида

о

J Т ( — ст)Ви(а) da

—оо

образуют множество 2С, плотное в Я, поскольку си­ стема управляема).

Предположим теперь, что оператор R таков, что (на множестве его значений, если система не приведена)

и, значит, М отображает гильбертово пространство 2Д на гильбертово пространство Я так, что

II Lu Ip ^ К/? IP II M (Lu) Ip.

Следовательно, оператор M обладает ограниченным

обратным (М гомеоморфно отображает Ед на Я). Кроме того, MS(t)Lu — T(t)M(Lu).

Пусть, наконец, x(0) = Lu0. Тогда

I

x{t) = S{t)x{0)+ J S { t — a)Wu{a)dae=tR

Далее,

t

Mx(t) = T(t)Mx(0) + f T(t — o)(MW)u(o)da,

6

где MW = B. Кроме того, F(Lu) — CM (Lu), так что

|F (Z ,« )K ||C |||U -,J< 1 ^ ||L « ||.

Таким образом, F( - ) определяет непрерывный линей­

ный функционал на 2Л. Заметим, что это нам при­ шлось бы предположить, если бы мы не знали, что такое W (t).

Обратно, если топология, индуцированная на 2Л как на подпространстве пространства Н (а), эквивалентна топологии на Я, порождаемой отображением М, то оператор R обязательно обладает указанным выше свойством, а именно

[Я*, х] ^ m [х, х], ш > 0.

Заметим, что это условие исключает компактность оператора R.

П р и м е р 4.5. З а д а ч а о п т и м а л ь н о г о по б ы с т р о д е й с т в и ю у п р а в л е н и я . Пусть S {t)~ сильно непрерывная полугруппа над гильбертовым про­ странством Я с инфинитезимальным порождающим оператором А. Очевидно, что система

x {t)= Лх(і!)+ u(t)

управляема. Обозначим через С (Г) класс функций и( ■),

210 Глава 4

Множество С для каждого Т выпукло, замкнуто и ограничено в L2([0, Г], Я).

Пусть у — заданный элемент в Я, и пусть нам из­

вестно, что

т

у = J S(T — s)u(s)ds,

о

при некотором Т\\ и{ •) е С(Т).

Задача оптимального по быстродействию управле­ ния состоит в том, чтобы отыскать минимальное время Т, за которое можно перевести данную систему из начала координат в состояние у, и управление и ^ С ( Т ) , позво­ ляющее этого достичь. Легко видеть, что такое мини­ мальное время и соответствующее управление (или упра­ вления) действительно существуют. Гораздо труднее установить необходимые и достаточные условия, кото­ рым должно удовлетворять искомое управление. Эта последняя задача по сути дела сводится к отысканию опорных плоскостей для выпуклых множеств. Для ее решения положим

Очевидно, что множество Qb(T) выпукло, замкнуто и ограничено. Обозначим через Т0 мңнимальное время достижения состояния у (из начала координат). Тогда точка у должна быть граничной точкой для Qb(T0).

Предположим временно, что у — опорная точка мно­ жества Qb(TQ). Тогда существует такой ненулевой вектор

для некоторого управления и0( ■) из С(Т0). Отсюда сле­

почти всюду. Это значит, что можно построить опти­ мальное управление следующего вида (так называемое

релейное управление):

</(о\-----

U[S)~~ II у (s) II ’

где y{s) удовлетворяет сопряженному уравнению

*/(*) + Л*г/(з) = 0, у { Т )Ф 0.

Как мы убедились выше, в общем случае беско­ нечномерного пространства не все граничные точки выпуклого множества могут служить опорными, и молено лишь утверждать, что опорные точки образуют плотное подмножество множества граничных точек. Для того чтобы каждая граничная точка могла быть опорной, достаточно, чтобы начало координат было внутренней точкой выпуклого множества. Легко видеть, что в нашем конкретном случае это условие выполняется всякий раз, когда начало координат принадлелеит резольвентному множеству оператора S(T0). А это значит, что множе­ ством значений оператора S(t) при любом t ^ T 0 должно быть все пространство. В частности, функция