Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
212 |
Глава 4 |
непрерывна для |
каждого х ^ Н , так что « (^ п р и н ад |
лежит L2([0, Го], |
Н) и |
та
I S(T0- s ) u ( s ) d s = - ± - ,
о
откуда следует, что нуль принадлежит внутренности множества Qb(T0). Это условие выполняется, когда полу группа S(t) в действительности является группой, на пример в случае уравнения Шрёдингера или волнового уравнения. Это условие нарушается, если полугруппа оказывается компактной.
П р и м е р. 4.6. Простой пример (предложенный Фатторини) иллюстрирует невозможность релейного упра вления в бесконечномерном случае. Пусть {cpft}—полная ортонормальная последовательность в Н и полу группа S{t) имеет вид
оо
5 (0 h = 2 е~п‘ [!г, <р„]ср„.
о
Обозначим через А ее инфинитезимальный порождаю щий оператор. Положим
оо |
оо |
в = 1 і b kфь |
b k Ф о, 2 l bk р < оо, |
о |
о |
и рассмотрим задачу оптимального быстродействия для
системы |
л: (0) = 0, |
x(t) — Ax(t) + Би (t), |
с (скалярным) управлением, удовлетворяющим условию
| «( ^) | ^1. Пусть для. некоторого у е Н |
и f > 0 |
|
t |
|
|
у = j S(t — о) Bu(a)da, |
| u ( * ) l ^ l j |
|
о |
|
|
тогда |
|
|
t |
do> |
n ^ o, |
= I e-n (t-o)u |
||
n о
Полугруппы линейных операторов |
213 |
и главная особенность рассматриваемого примера со
стоит в том, что |
равенство |
|
|
t |
|
О= |
J е~п^~а)и(о) da, |
О, |
влечет за собой |
о |
|
|
|
|
и (а) = |
0 почти всюду, |
0 < а < t, |
т. е. оптимальное управление единственно. Пусть
«(*) = у . 0 < / < 1 ,
и
1
y = Y J S(1 — а) В da.
о
Покажем, что состояния у нельзя достичь за время,
меньшее |
1. Действительно, |
если |
|
і-і |
|
|
|
y = f |
S(1 — t — s)Bu(s)ds, |
0 < t < l , |u(s)II< 1 , |
|
|
— J e-rni-a) da = |
J |
e~n^~l~a)u{a) da, |
откуда |
о |
о |
|
|
|
|
|
I |
1 |
|
|
Y J |
da = I e~ll^~a)ü(a) da, ü{a) = u(a — t), |
||
о |
i |
|
|
что невозможно в силу единственности оптимального управления. С другой стороны, оптимальное управление больше не является релейным. В частности, для мно жества
I J 5 (1 — s) Ви (s) ds: | и (s) | ^ 1 j
нет опорной плоскости, проходящей через точку у.
Глава 5
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Цилиндрические множества
Пусть Я — сепарабельное вещественное гильбертово пространство. Выберем в нем « элементов (различных или нет) хх, .. и пусть В — борелевское множество в евклидовом /г-мерном пространстве Еп. Назовем ци
линдрическим |
множеством множество таких элемен |
тов у ^ Н , что |
«-мерный вектор {[г/, х,]} принадлежит В. |
Обозначим через Нп конечномерное подпространство, натянутое на элементы хи ... , хп. Размерность про странства Я„ может быть меньше п. Если Р,t — опера тор проектирования из Я на Я„, то вместе с каждым элементом у в цилиндрическом множестве содержится и Рпу + (/ — Рп) Н\ этим и объясняется название „ци линдрическое множество“.
Это множество можно определить с несколько дру гих (и более общих) позиций. Рассмотрим конечномер ное подпространство Яш в Я. Определение борелевского множества В в Я,„ известно.
Цилиндрическим множеством будем называть мно жество, которое можно представить в виде суммы боре левского множества В и ортогонального дополнения к Нт. Борелевское множество В называют тогда осно вание.« цилиндра, а Нт— его базисным пространством.
Легко получить следующие свойства цилиндрических множеств.
(i)Теоретико-множественное дополнение цилиндри ческого множества есть также цилиндрическое мно жество. В самом деле, если цилиндрическое множество имеет основание В, то основанием для его дополнения будет дополнение множества В.
(ii)Пересечение двух цилиндрических множеств есть
также цилиндрическое множество. В самом деле, пусть С1
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве |
215 |
и С2—цилиндрические множества с основаниями ß, и ß2 соответственно в подпространствах Я, и Я2. Заметим, что НІ П Яг совпадает с ортогональным дополнением под
пространства, натянутого на Я| f] Я2, где Я? — ортого нальное дополнение к Я ( (г = 1, 2). Из определения ци линдрических множеств С, и С2 имеем
С, = |
ß, + |
н і = |
ß, + (Я? - Hl) + Hl, |
C2 = |
ß 2 + |
{Hl - |
Hl) + Hl, |
где Hl — H\{] Hl. Очевидно, что множество НІ равно сумме множества Hl и ортогонального дополнения к Я | в НІ. Отсюда
НІ - Hl с Hz
и аналогично
Hl - H l а Hz.
Положим
Я, = ß, + Я? - Я§,
ß2 = ß2 + Hl - Hl.
Тогда ß, и ß2 — борелевские множества в Я3. Наконец,
С , П С 2 = Л , П Я 2 + Я зс
и, значит, С, П Со — цилиндрическое множество. (Заме тим, что если у е С, П С2> то
|
y = |
b\-\-liz, |
b \^ B \, |
hl е Яз, |
|
|
y — |
bi-\-hz, |
bz^Bo, |
hz е Яз. |
|
Поэтому обязательно |
Ь\ = |
Ьь и hl = hl.) |
|||
Попутно мы доказали, что два цилиндрических мно |
|||||
жества с основаниями ß| в Я, и В2 в Я2 совпадают |
|||||
тогда и только |
тогда, когда ß, = |
ß2. |
|||
Предупреждение. |
Если |
Л с: Z, |
Z — цилиндрическое |
||
множество, а пространство Я бесконечномерно, то мно |
|||||
жество |
А не обязательно |
цилиндрическое. |
|||
(ііі) |
Объединение двух цилиндрических множеств есть |
||||
также |
цилиндрическое множество.. Это следует из |
||||
216 |
Глава 5 |
свойства (і). Используя обозначения пункта (іі), получаем
CiUC2 = ß , U ß2 + н і
Таким образом, класс цилиндрических множеств ‘S образует алгебру. Более того, пространство Я можно представить (многими способами) в виде объединения счетного числа цилиндрических множеств, и, разумеется, само оно является цилиндрическим множеством. С дру гой стороны, ясно, что объединение счетного числа множеств из ‘S не обязательно принадлежит ‘S.
Борелевские множества
Наименьшая ст-алгебра множеств, содержащая все открытые множества (или, что эквивалентно, все замк нутые множества) в Я, называется борелевской ст-алгеб- рой пространства Я, а принадлежащие ей множества называются борелевскими множествами. Класс борелев-
ских множеств будем обозначать через $. Значение борелевских множеств основано на следующей лемме.
Л е м м а 5.1. Класс борелевских множеств $ |
со |
впадает с наименьшей а-алгебрэй, содержащей все |
ци |
линдрические множества. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем сначала, что каждое цилиндрическое множество является борелевским. Пусть С — цилиндрическое множество с основанием В и ба зисным пространством Н,п. Предположим, что В замк
нуто в Ят . Тогда очевидно, что множество С = В -\-Нст замкнуто в Я.
Рассмотрим теперь наименьшую ст-алгебру, содержа щую все цилиндрические множества, имеющие в ка честве оснований замкнутые множества в (фиксирован ном) базисном пространстве Нт. Эта а-алгебра должна быть а-подалгеброй в Поэтому все ее множества должны быть борелевскими в Я. Но борелевские мно жества в Нт— это не что иное, как элементы наимень шей ст-алгебры, содержащей все замкнутые подмножества в Нт. А это значит, что цилиндрические множества с борелевскими основаниями должны быть борелевскими
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве |
217 |
множествами в Я. Следовательно, наименьшая сг-алгебра, содержащая все цилиндрические множества, должна содержаться в
С другой стороны, пусть |
А — борелевское |
множе |
|
ство в Я. |
Покажем, что А |
принадлежит наименьшей |
|
а-алгебре |
$ с, порожденной |
цилиндрическими |
множе |
ствами. Рассмотрим сначала частный случай, когда А — замкнутый шар:
А = {х: | |x - * 0||2<M }.
Пусть {ф„} — полная ортонормальная система. Тогда для каждого п множество
А» = {*: Іі [* —*<>. Фг]2< м }
является цилиндрическим. Но так как
А = Г \ А п,
то А принадлежит $ с.
Далее, пространство Я сепарабельно, так что каждое открытое множество в нем можно представить в виде объединения счетного числа замкнутых шаров. Действи тельно, пусть U — открытое множество в Я, {.vfe} — по следовательность, плотная в Я, а {г*} — ее подпоследова тельность, содержащаяся в U. Для каждого zk положим
5 Ы = U 5 (zk; г„),
П
где {г,J — последовательность всех рациональных чисел и
5 (гк; /•„) = {х: ||гк — х ||< гп),
причем рассматриваются только те шары, которые со держатся в U. (Другими словами, 5 (zk) — объединение счетного числа содержащихся в U замкнутых шаров с центрами zk и рациональными радиусами.) Очевидно, что 5 (Zs) <= $ с. Более того,
и с Us (zk).
к
218 |
Глава 5 |
Действительно, пусть y ^ U . Тогда существует замк нутый шар 5 (у\ г) с рациональным радиусом, содер жащийся в U. Этот шар должен содержать подпосле довательность последовательности {zÄ} (обозначим ее снова {Zk}), сходящуюся к у. Следовательно,
У <= S (zk\ rk) сzS(y; г) с: U
для некоторого достаточно малого рационального числа
rk. Очевидно, что (JS (2 ft) c i7 , т. е, |
U = U S (z Ä) и, |
k |
k |
значит, U принадлежит $ с. Но так как $ |
есть сг-алгебра, |
порожденная открытыми множествами (которые по дока занному принадлежат $ с), то $1 с $)с. Вместе с доказан ным ранее включением $)c cz $ это означает, что !%= $ с.
Заметим кстати, что $ — наименьшая сг-алгебра, со держащая все замкнутые шары (или, что эквивалентно, все открытые шары).
Итак, мы описали два объекта из трех, образующих вероятностное пространство: выборочное пространство Н и борелевскую ст-алгебру $ его подмножеств. Теперь введем на $ вероятностную меру.
Меры на цилиндрических множествах
Начнем с изучения вероятностных мер на алгебре цилиндрических множеств. Такие меры мы будем на зывать цилиндрическими мерами и обозначать через ц. Пусть Z — цилиндрическое множество с основанием В и базисным пространством Нт, Тогда по определению
H (Z) = Ут (В),
где ѵ„, (•) — счетно-аддитивная вероятностная мера на a-алгебре борелевских подмножеств в Нт. В частности, если {ZÄ} — попарно непересекающиеся цилиндрические множества с общим базисным пространством Нт и соответствующими основаниями {ßfc}, то
t i ( i 2 Äj = | p ( Z ft) = | v OT(ßft).