Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

мера р, была корректно определена, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: если

Z = B + H en = B + Hp + (Hm+ н ру,

где Нр — подпространство, ортогональное к Я;„, то

V« (В) = ѵт+р (В + Нр),

где ѵт+р — борелевская мера на Ят + Я р.

Заметим, что так как ѵп1 — счетно-аддитивная мера на борелевских множествах конечномерного простран­ ства Ят , то

ѵт {В) — inf ѵт(G),

подпространства Докажите, что. при любом задан­ ном е > 0 найдется такое достаточно большое число т, что

Р (Zm) > 1 — е>

где Zm = Sn (in) + Нп.

П р и м е р 5.1. Приведем пример цилиндрической меры, имеющей первостепенное значение. Пусть R — са­ мосопряженный неотрицательно определенный опера­ тор, отображающий Я в Я. Зададим меру ѵ на боре­ левских множествах конечномерного пространства Нт следующим образом. Выберем ортонормальный базис {еь ... , ет} в Нт. Борелевским множествам в Нт можно поставить во взаимно однозначное соответствие борелевские множества в „координатном“ пространстве:

ег]: £ = 1, .... т).

Введем теперь на борелевских множествах гауссову меру с матрицей вторых моментов {гц}, где гц = [ В еи ej],

зависит от выбранного базиса. Заметим, что (тУ,т)-ма­ трица {/•;/} может быть вырожденной. Легко видеть, что введенная мера удовлетворяет условию согласован­ ности. Обозначим эту цилиндрическую меру через ц.

Пусть NR обозначает нуль-пространство оператора R, а Нт — подпространство в NR. Тогда мера ц любого цилиндрического множества с основанием в Нт равна 1 или 0 в зависимости от того, содержит это множество нулевой элемент или нет.

Более важную роль играет следующее свойство рас­

где Л = 1ішЛ„. В частности, ц{Еп)-> 0, если А > 0.

Р— такая счетно-аддитивная мера. Тогда

Р(S (0; /л)) </>(£„),

а так как Р (Еп) = р (Еп), то Р (5 (0; М)) = 0 для всех М. Но

// = I J 5 ( 0 ;m), л = 1, 2, 3, . . . ,

П

и потому

1 = lim Р (5(0; л));

мы пришли к противоречию.

Итак, если R — положительно определенный самосо­

продолжить так, чтобы она стала счетно-аддитивной ме­ рой на $ (при условии, что пространство Я бесконечно­ мерно). А так как „прототипами“ невырожденных гаус­ совых распределений являются, положительно опреде­ ленные операторы, мы вынуждены ограничиться лишь конечно-аддитивными мерами.

Однако класс функций, которые можно интегриро­ вать по конечно-аддитивным мерам, не так уж малочислен. Например, пусть функция g(t......... tn) измерима по Борелю на Еп. Зададим функцию

h(x) = g ( [х, ф,], [*, ф2], . . . . [х, ф„]),

где {ф„} — заданный конечный набор элементов из Я. Обозначим через р цилиндрическую меру. Тогда функ­ ция h (•) измерима относительно ’S7 и

J h {х) du = J g (•) dvn.

222 Глава 5

Например, если /г (.ѵ) = ехр / [х, ф], ф е / / , то

00

J /г (х) d \i= С е‘!Іdv (у).

—оо

Отметим кстати, что

Сц (ф) = J е‘|д:' 4,1 dy,

есть характеристическая функция (вероятностной) ци. линдрической меры р.

З а д а ч а . 5.2. Пусть р — цилиндрическая мера, ин­ дуцированная самосопряженным неотрицательно опре­ деленным оператором R. Покажите, что характеристи­ ческая функция этой меры равна

Сц(ф) = ехр( —4-[Яф> ф])-

Найдите цилиндрическую меру, характеристическая функ­ ция которой равна

Сц (ф) = ехр ( — Y [Яф, ф] + і [ф, ф]), ф 6= Я.

З а д а ч а . 5.3. Пусть Я —компактный оператор, для которого

ЯФа= ]-Фй. k = l ’ 2’

где фй — собственные векторы, образующие полную ортонормальную систему. Обозначим

Еп(т) = |х: 2 [х, Фг]2 < m 2j , т > 0.

Покажите, что если р — соответствующая цилиндриче­ ская мера, то

lim р (£„(/«)) = О,

П

Прежде чем развивать теорию интегрирования по конечно-аддитивным мерам, установим условия, при

которых самосопряженный неотрицательно определен­ ный оператор R индуцирует счетно-аддитивную меру.

Сначала вспомним несколько основных и необходи­ мых нам сейчас результатов теории меры. Класс 'g’ цилиндрических множеств образует алгебру. Пусть ц — цилиндрическая мера. Ее можно продолжить на а-алгебру борелевских множеств (порожденную обеспечив счетную аддитивность, тогда и только тогда, когда для любого цилиндрического множества Z, для которого

со

Z a UZ„, I

где Z,, — цилиндрические множества, справедливо не­ равенство

ос

tt(ZK2n(Z„).

I

Это условие можно сформулировать по-другому. Пусть

я = (J z,„ 1

где {Z„} — последовательность попарно непересекающихся цилиндрических множеств. Тогда для возмож­ ности указанного продолжения меры ц необходимо и достаточно, чтобы

цилиндрическую меру, обладающую таким свойством,

будем называть счетно-аддитивной.

Для наших целей нам потребуется распространить это понятие на один частный случай гильбертова про­ странства. Прежде всего, следуя обычным методам

цилиндрической мерой ц. Для произвольного подмно­ жества F в Я положим

оо

Ре (F) = inf 2 Р (Zk),

I

где {Zk} — последовательность цилиндрических множеств,

покрывающая F ^т. е. /•'cr(JZ ftj, а нижняя грань бе­

рется по всем таким последовательностям. Совершенно ясно, что (Z) р, (Z) для любого цилиндрического множества Z. Более того, если F]er F2, то любая по­ следовательность цилиндрических множеств, покрываю­ щая /-'о, покрывает и Fu а значит,

Ре (^ ) -

Это позволяет дать следующую характеризацию счетно­ аддитивных цилиндрических мер.

Т е о р е м а 5.1. Для того чтобы цилиндрическая мера была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любого наперед заданного числа е > 0 су­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость. Предположим, что мера р счетно-аддитивна. Тогда очевидно, что мера ре счетно-аддитивна на $ и последовательность множеств

5 (0; in) — {.ѵ: || х |]2< in2}, пг— 1, 2, ....

монотонно возрастает по пг, причем

1 = lim ре (S (0; пг)).

ГП

Следовательно, для данного е > 0 всегда можно найти такое достаточно большое число пг, что

pe(S (0; /п ))> 1 — е.

Достаточность. Пусть для произвольного е > 0 су­ ществует такое замкнутое ограниченное множество Д, что

Ре(Ю > 1 - е .