Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

чисел [xm, х"] сходится, так как при /г > т это подпо­ следовательность сходящейся последовательности а"‘. Обозначим

которых плотно в Я0. Поэтому для каждого у из Я0 можно найти такую последовательность {«/„}, что

II Уп — УИ-* 0 и

1{уп) = Ш [ у п, х%].

т

Но

[У, х%] = [ур, XI] + { у - ур, XI],

где второй член справа по абсолютной величине не пре­ восходит Щ\у — урII и, следовательно, сходится к нулю равномерно по т. Это доказывает сходимость левой части, а так как для любого г из Я,

[z, xk]= О,

то ясно, что функция / (•) определена для всех элемен­ тов из Я. Очевидно, что она линейна. На самом деле она и непрерывна, так как если || ут — у ||-> 0, то

\1(Ут -У )\ = ѵ™\{Ут -У> ^ ] |< M ||y m- r / | ^ 0 .

Другим важным свойством гильбертовых пространств, распространяющимся на любые банаховы пространства, является свойство равномерной ограниченности, приво­ дящее к результатам, обратным к тем, которые осно­ ваны на слабой компактности.

Т е о р е м а 1.4. (Принцип равномерной ограничен­ ности.) Пусть {fn( ■)} — последовательность непрерывных линейных функционалов, определенных на Н и таких, что для всех х из Н

sup I fn{x) I < оо.

Тогда

ІІ Ы - ) І К М < ° ° .

До к а з а т е л ь с т в о . Докажем эту теорему от про­ тивного. Заметим прежде всего, что если последова­ тельность {/„(*)} равномерно ограничена в некотором замкнутом шаре в Я, то теорема доказана. В самом

и, следовательно,

sup sup \fn(x) I< supI ( х 0) 1+ C + Cj) ЛГ0 j) < OO,

n IUIK1

так что последовательность норм Ц/„(-)ІІ ограничена. Удобно воспользоваться следующими обозначениями для шаров:

£ (хо) е) = {х: IIX — х01| < е}, S(x0; е) = {х: \\х — *0|К е} .

■Ясно, что 5 {х0\ г)—открытый шар, a S(x0\ е) —замкну­ тый. Далее, если последовательность {frt(*)} равномерно ограничена в открытом шаре, то она равномерно огра­ ничена и в его замыкании. Предположим, что суще­ ствует открытый шар с центром х0 и радиусом е0,

в котором функционал / (•) не ограничен. Выберем такой элемент л:,, что (f,, (*() |> I. Тогда в силу непре­ рывности функционала f (•) найдется замкнутый шар

S(a:1; е,) с центром х, и радиусом е,, в котором

Если на S(x,; е,) все функционалы /„(•) ограничены, то теорема доказана. Поэтому допустим, что неко­

шар_5 (х2; е2), содержащийся в S(x,; ej), что для всех х из S (х2; вг)

|/n;W | > 2 -

Ясно, что е2 можно взять так, чтобы выполнялось условие

. 8і 82 < Т -

Продолжая этот процесс, строим такую последователь­ ность точек хр, что

Ifnp(*) I> Р, X S (ѵ> в,),

S (xp-, ер) с: 5(Хр_і; ер_,),

Это значит, что {хр} — последовательность Коши, схо­

вательности, но полученный результат справедлив для любого семейства /„(•) непрерывных линейных функ­ ционалов, для которого при всех .ѵ из Н

supl fa(x) I < ОО.

Действительно, предположим, что supII/а (*) || = + оо.

а

Тогда можно найти такую последовательность {/„(•)}, что

sup II f n ( - ) 11= + °°

П

вопреки доказанной теореме.

З а м е ч а н и е 1.2. Полученный результат тривиаль­ ным образом обобщается на случай любого семейства непрерывных линейных преобразований, отображающих одно гильбертово пространство в другое. Действительно, пусть Га (*) отображает Я, в Н2 и для всех х из Ну

sup II Та{х) И< оо.

Тогда для любого х из Ну

sup I [Га (*), у] I < оо.

ІІх/ІК I

С л е д с т в и е 1.4. Пусть {f„(-)} — последователь­ ность таких линейных функционалов, что для каждого х из Н последовательность {/„(*)) сходится. Тогда найдется непрерывный линейный функционал f( - ), для которого

П

||/(.)1 К И т ||/„ (')1 |.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно принципу равномер­ ной ограниченности,

І І / Л - ) І К М < о о .

мость по норме, мы в случае необходимости будем

и, следовательно, функционал f ( - ) непрерывен. Кроме

непрерывных линейных функционалов, для которых

IП\

и{/„(*)} сходится при каждом х из некоторого плотного подмножества в Н. Тогда найдется непрерывный линей­ ный функционал f{-), для которого

lim f„{x) = f{x),

П

если только этот предел существует. Более того, указан­ ный предельный функционал единствен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы докажем, что на самом деле {/„(х)} сходится при любом х из Н. Обозначим через {х„} аппроксимирующую последовательность эле­ ментов данного плотного множества:

IIX хпИ >0 .

По условию {fm (хп)) сходится по пг. Возьмем число р настолько большим, чтобы для заданного е > 0 вы­ полнялось неравенство

\ \ х - х р\\< w -

а затем выберем такие числа п и пг. что

І Ы * р ) - и * р Ж | .

< 2 А Г |и - * р || + | < е

и, следовательно, ff„(x)} сходится. Теперь осталось при­ менить следствие 1.4.

Подчеркнем, что в этом следствии нельзя опустить ни условия плотности множества, на котором сходится (f„(x)}, ни условия ограниченности.

Определенный интерес представляет вопрос: когд^а слабая сходимость влечет за собой сильную сходимость?

{||л:„||} сходится к ||х[|. Тогда {хп} сильно сходится к х.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле,

ослабой сходимости принадлежит Банаху и Саксу.

Те о р е м а 1.6. Пусть {хп} слабо сходится к х. Тогда можно найти такую подпоследовательность {.хпft], что

последовательность средних арифметических

ния общности можно считать х = 0. Будем выбирать x-k следующим образом. Положим

Хп, = Х[.