Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
откуда |
|
|
f f (z)dz = j f (z)dz. |
(104) |
|
Li |
L3 |
|
Отсюда вывод. |
Контурный интеграл от |
функции f(z)r |
аналитической в односвязной области D для любой линии L, |
||
целиком лежащей в D, не зависит от контура |
интегрирова |
|
ния, а зависит лишь от начальной точки z0 и конечной Z кон тура L и поэтому обычно обозначается:
Z
j f(z)dz.
Если точка |
Zf> |
|
в области |
z0 неподвижная, a Z — изменяется |
|||
D, то последний интеграл будет функцией z: |
|
||
|
|
Z |
|
|
F(Z) = J f(z)dz . |
|
|
|
|
Zo |
|
Докажем следующую теорему. |
в одно |
||
Т е о р е м а . |
Для функции |
f(z), аналитической |
|
связной области D, функция |
|
|
|
|
F (Z) = |
f f(z)dz |
|
является аналитической и F'(Z)=f(Z). Мы уже показали, что рассматриваемый интеграл не зависит от пути интегри рования и при данных zo и Z имеет одно и то же значение. Покажем, что F'(Z) существует и равна f(Z).
По определению производной,
F4 Z) = |
Пт ---— + -- ~ ~ |
F(Z) • |
||
С другой стороны, . |
b z - + 0 |
A Z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z + az |
|
F (Z) — j f(z)dz и |
F ( Z + A Z ) = j' |
f(z)dz, |
||
Zo |
|
|
z0 |
|
и тогда |
|
|
|
|
F(Z) = |
lim |
F(Z + A Z ) - |
F(Z) |
|
|
Az-O |
AZ |
|
|
Z+ Az |
|
|
|
Z+ AZ |
f(z)dz |
f(z)dz| = |
lim |
— r— \ f(z)dz . |
|
AZ-*-0 |
|
) |
A z - 0 |
ä z J |
Zo
(105)
95
Ввиду аналитичности f(z) |
будет |
непрерывной в области |
D |
и точке Z. Выбрав достаточно малую окрестность точки Z так, |
|||
чтобы все точки круга |
радиуса |
|AZ| целиком лежали |
в |
области D, по определению непрерывности функции f(z) за пишем
! f(z) |
— f (Z) |
— любое положительное, |
||
для достаточно малых |
AZ, где |
|||
еI < s |
||||
наперед? заданное число. |
|
Используя связь между функцией, |
||
ее пределом и бесконечно малой величиной, имеем: |
||||
f (z) |
= |
f (Z) + |
a(z), |
|
где а(г)->0 при z-vZ.
Используя полученную зависимость, равенство (105) пре образуем:
|
|
Z + AZ |
. |
|
Z + AZ |
|
|
F'(Z) = lim |
- д у - |
( |
{(z)dz |
= lim -д-=- 1 f(Z)dz + |
|||
лг~о |
|
zJ |
|
|
Д2-.0 a Z jz |
|
|
|
|
|
|
,Z+AZ |
|
|
|
-f- Um ~ту~ |
a(z)dz, здесь |
(106) |
|||||
|
AZ^O |
a L* |
J |
|
|
|
|
f(Z) не зависит |
от z, «и |
первый |
интеграл |
равенства |
(106) пе |
||
репишем так: |
|
|
|
|
|
|
|
Z + AZ |
f (Z)dz |
|
Z + A Z |
f (Z) Az . |
|
||
f |
= i(Z) f |
dz = |
|
||||
z |
|
|
|
Z |
|
|
|
Используя условие независимости рассматриваемого интег рала от пути интегрирования, будем считать контур интегри рования от точки Z до Z+AZ прямолинейным. Тогда длина
этого |
пути будет |AZ|. Применяя теорему об оценке интег |
|
рала, |
представим второй интеграл в равенстве (106): |
|
|
Z ~ A Z |
a(z)dz I < max 1о. (z) I • 1A z 1 - |
|
1j |
|
|
z |
|
Следовательно, предел этого интеграла равен нулю, и равен ство (106) после преобразований таково:
f(Z) ■A Z
F (Z) « Н т ---- Д 7 ----= f(z).
A Z - 0
Теорема доказана.
96
Используя результат доказанной теоремы и определение
Z
первообразной, делаем вывод, что функция F (Z )= /f(z )d z
Zo
является первообразной для f(z) и находится в семействе первообразных Fi(Z)-fc при определенном значении с. Пусть
F] (Z)-fCi = F(Z), тогда
J f(z)dz = F,(Z) + |
с,. |
При z= zo контурZo интегрирования |
замкнется и интеграл, в |
силу теоремы Коши, обратится в нуль:
j f(z)dz = F,(z0)-fci = О, z„
откуда |
|
|
|
|
Окончательно |
Cj == - F|(z0). |
|
||
|
|
|
||
|
f f(z)dz = |
F,(Z) |
- F ,( z 0). |
(107) |
Полученная |
формула |
(107) |
называется формулой |
Ньютона- |
Zo |
|
|
|
|
Лейбница для контурных интегралов. Она полностью совпа дает с аналогичной формулой для определенных интегралов.
П р и м ер . Вычислить интеграл
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
j sin z dz. |
|
|
|
|
|
Функция |
f(z) = sin z |
о— |
аналитическая |
во |
всей |
комп |
|
лексной области, так как является |
линейной |
комбинацией |
|||||
аналитических функций ez и е~г. Применяя |
формулу |
(107), |
|||||
получим: |
|
= |
—cos 1 + |
cos|o0 = |
1 — cos 1= |
|
|
і |
і |
|
|||||
Jгo sin zdz = — cos z , |
|
||||||
= |
1 ------- (e ~ l,+ e ) a l - 1,543s» -0,543. |
|
|||||
7 Заказ 243 |
97 |
§ 7. Вычисление интеграла вида
dz
7 К2 - а)п '
При изучении теории функций комплексного переменного большое значение имеют интегралы вида
dz
( 108)
(z — а)11
где п — целое положительное число. Если п^О , то по тео реме Коши
dz
(z — ß)_n dz (z — ß)m dz — 0
(z - )ап
Если n>0, но точка а лежит |
вне |
области D, |
ограниченной |
||||
контуром L, то по теореме Коши данный интеграл |
также |
об |
|||||
ращается в нуль. |
и точка а |
лежит |
внутри |
области D. |
|||
Пусть теперь п >0 |
|||||||
Построим окружность «с» радиуса R, целиком лежащую в об |
|||||||
ласти D и не пересекающую контур L. Уравнение этой |
ок |
||||||
ружности в комплексной форме: |
|
|
|
|
|
||
|
z — а = |
Re!t, |
|
|
(109) |
||
где 0 ^ t ^ 2 n — переменный параметр. Функция |
|
—-— |
|
||||
(п>0) аналитическая |
в кольце между с и L. |
|
|
|
|||
По теореме Коши величина интеграла |
(108) |
не зависит от |
|||||
вида контура L. Поэтому в качестве контура интегрирования |
|||||||
выберем окружность |
(109). Обходя окружность с в положи |
||||||
тельном направлении и используя правило вычисления кон турных интегралов, получим:
|
|
|
dz = |
Rieu dt |
|
1= |
dz |
2- |
Rieu |
27t |
|
|
(z — a)n |
|
R^ |
r ‘1 ,= |
J ^ -> '4 1 .(1 1 0 ) |
о
98
При п= 1 получаем |
I = |
2r |
2теі. |
|
i J |
dt = |
|||
|
|
oJ |
|
|
(п=2, 3, ...), |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
I = —-— |
. ____ :____ |
|
||
R "-1 |
1(1 |
- |
п) |
|
так как |
е 2ісі(1 —п) |
__ gO _ |
1 |
|
|
||||
Если же п>1
2тс
= О,
о
Итак, если контур L однократно обходит точку а в положи тельном направлении, то при любом целом п
|
d |
z |
О |
при п ф. |
I |
( H l ) . |
|
$L |
(z — |
a)n |
2ft і при n — I . |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Из (111) следует, что если контур L обходит точку а в полд- |
|||||||
жительном направлении к раз, |
то |
|
|
||||
|
|
|
= |
2кігі. |
|
(И 2) |
|
Если же контур L обходит к |
раз точку а в отрицательном |
||||||
направлении, |
то |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
= - 2 к к і . |
|
(ИЗ) |
||
|
|
§ 8. |
Интеграл Коши |
|
|
||
Пусть функция f(z) является аналитической на некотором |
|||||||
контуре L и |
в односвязной области D, |
ограниченной этим |
|||||
контуром. Кроме этого, внутри области D |
взята |
произволь |
|||||
ная точка г (рис. 27). Из точки г как из центра |
опишем ок |
||||||
ружность С радиуса г. Радиус окружности С выберем произ вольным, но настолько малым, чтобы окружность С целиком лежала в области D.
Образовавшаяся между контурами L и С область являет
ся двусвязной, и по теореме Коши для многосвязной облас ти (см. § 5) ,
99