Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Рис. 27.

Подынтегральная функция в области, заключенной между контурами L и С, аналитическая, так как единственной осо­ бой точкой является точка t = z, которая в эту область не входит; поэтому применим теорему Коши. Так как функция f(z) является аналитической, а следовательно, и непрерыв­ ной в области D, то для любого е>0 (как бы мало оно ни было) можно подобрать радиус окружности С настолько ма­ лым, что для любой точки t окружности С

(1 1 8 )

С

100

нием г (это следует из теоремы Коши и равенства (114), по­ этому знак предела в левой части (118) можно опустить. Тогда

Полученное выражение называется интегральной формулой Коши, а интеграл, стоящий в правой части (119), — интегра­ лом Коши. Интегральная формула Коши позволяет нахо­ дить значения аналитической функции в любой точке, лежа­ щей внутри области D, если известны значения этой функ­ ции на контуре, ограничивающем эту область. Если точка г лежит вне области D, то интеграл Коши равен нулю, что сле­ дует из теоремы Коши, так как в этом случае подынтеграль­ ная функция является аналитической в области D. Если об­ ласть D многосвязная, то, используя теорему Коши для мно­ госвязной области, интегральную формулу Коши легко можно обобщить для сложного контура L, ограничивающего эту область.

Рассмотрим случай, когда замкнутая область D ограни­ чена сложным контуром L=Li-HLa+L3 (рис. 28). Выберем внутри области D произвольную точку z и построим ее неко­ торую окружность С с центром в точке г. Функция t(zj вне

ЮІ-'

где оба контура L и С обходятся в положительном направле­ нии. ■

Интеграл; стоящий в правой части, вычислен по простому контуру, и к нему применима интегральная формула Коши

(119):

с

Следовательно, и для интеграла, взятого по сложному конту­ ру L, будем иметь:

102

Окончательно —

Интегральная формула Коши остается справедливой и для сложного контура. С помощью интегральной формулы Коши можно вычислить некоторые интегралы от. аналитических функций по замкнутому контуру.

L

радиус которой равен 2. Центр ее в точке Зі (рис. 29).

pZ

Функция f (z) = внутри круга, ограниченного окруж­

ностью L, аналитична. Поэтому, применяя формулу Коши, получим:

§ 9. Производные высших порядков от аналитической функции

Для изучения теории аналитических функций и различ­ ных приложений большое значение имеет следующая теоре­ ма.

103

вольное приращение z, но настолько малое по абсолютной величине, что точка z-j-Az тоже принадлежит D. Используя интегральную формулу Коши, будем иметь:

L

104