Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Покажем,

что последний

предел в правой части

(121) равен

нулю. Для

этого проверим ограниченность интеграла

 

 

f (t)dt

 

В силу непрерывности в области

(t — z — А z)(t

z /

 

 

 

D она

должна

быть

ограниченной, то

есть

|f(z)|< M ,

где функция М — постоянное число.

 

 

Обозначим теперь через 26 кратчайшее расстояние от точ­

ки z до контура L

(рис.

30). Так как Дг—>-0,

можем считать

|Д г|< 6 ,

тогда |t —z|sg:2ö, а

 

 

I t — z — Д z I !> I t — z I — 1A z I > 2 8 — 8 = 8,

Применяя теперь теорему об оценке интеграла, получаем:

f(t)dt

M

• X,

( 122)

$ (t — z — A z)(t — z)s

(28)’

 

 

 

где X — длина контура L. Из неравенства (122) следует: ог­ раниченность интеграла, стоящего в левой части неравенства (122), и второе слагаемое в правой части равенства (121) обращаются в нуль. Окончательно имеем:

Г(г)

2

1

(^6

.....f-------.(M

.

(123)

 

к і

У

(t - г у

 

 

Получили выражение для первой йроизводной функции f(z).

105


Проведя аналогичные выкладки для функции f'(z), полу­ чим:

 

Ііш

Г (z -f Az) -

Г ( Z ) = J 2 ! _

Г

f(0dt

' Ь )

Az

2 тсі

^

(t - z)3

 

Az->0

Аналогично получим выражение для производной любого по­ рядка:

{ ( П ) Ы

= _ЕІ_ А

_

f (t)dL_

К '

2 тс і у

(t

- z)n+1 '

 

L

 

 

Следует заметить, что формулу (120)

получают из интеграль­

ной формулы Коши в результате последовательного диффе­ ренцирования под знаком интеграла по z п раз. Таким обра­

зом, из аналитичности функции f(z)

в некоторой

точке, то

есть из дифференцируемости f(z)

в

окрестности

этой точки

следует, что f(z) дифференцируема

в точке г сколько угодно

раз и, следовательно, все производные f'(z), f"(z),... анали­

тические в точке г. Формула (120)

может служить для вы­

числения интегралов по замкнутым контурам.

 

Пр и ме р . Вычислить Q)

г-^ , где L — замкну-

-

і)3

 

тый контур, однократно обходящий точку і. Применяя форму­

лу (119} для f(z)=sinz

при п= 2, получим:

sin z dz

2 п i

 

§ (z — i)3

2!

■H O — — it i sin i =

— 1C1

— e

(e - 1— e ) .

2i

 

 

§10. Интегралы типа Коши

В§ 8 последней главы был рассмотрен интеграл Коши

вида:

(6

(124)

2 тс і

Ф t — z

 

 

L

 

Здесь предполагается, что L — замкнутый контур, а функция

f(z) аналитическая на

контуре L и в области

D, рграничен-

106


ной этим контуром. Если считать, что L — произвольная ку­ сочно-гладкая дуга, а функция f(t) непрёрывна лишь вдоль контура L, то интеграл (124) называют интегралом типа Ко­ ши. Очевидно, интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.

Функция

F(z) =

1

f(t)dt

(125)

2 it i

t — z

L

определена всюду, кроме точек дуги L, так как в любой точ­ ке z, не принадлежащей L, интеграл типа Коши существует (точкой разрыва является только лишь точка t= z).

Можно было бы показать, что производные высших по­ рядков для функции (125) в любой точке z, не принадлежа­ щей дуге L, вычисляют так же, как и соответствующие про­ изводные для функции, определяемой интегралом Коши, то есть

F'(z)

=

 

L

f (t)dt .

(126)

 

(t — z)2 ’

 

 

 

 

 

 

 

f(t)dt

 

F"Hz)

=

п!

Г

(127)

2тгі

 

(t - z)n+1 '

Это значит, что все производные F (z) являются аналитиче­ скими функциями в любой точке, не лежащей на дуге L.

 

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

 

 

РЯДЫ

 

 

 

§ 1. Числовые ряды

 

Если задана

последовательность

комплексных

чисел

{zn = xn+ iyn}, то выражение вида

 

 

2і +

z2 + ... - f zn + . . . =

оо

(128)

2] zn

 

 

П= 1

 

называется рядом с комплексными членами. Основные опре­ деления и признаки сходимости числовых рядов с действи-

107


тельными членами остаются справедливыми и для

рядов с

комплексными членами.

Сумма

п — первых

членов ряда

О п р е д е л е н и е

1.

(128)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn = Z| -f- z.) -f-

... -f zn

(n

= 1,

2,

3,

...

)

 

называется n-ой частичной суммой этого ряда.

сходящимся,

О п р е д е л е н и е

2.

Ряд (128)

называется

если существует конечный

предел

последовательности

час­

тичных сумм ряда {Sn}. Этот предел называется суммой

ря­

да и обозначается так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

lim Sn .

 

 

 

 

 

 

 

 

П —*•оо

 

 

 

 

 

 

 

Если же последовательность {Sn}

стремится

к

бесконечно

удаленной точке или не стремится ни к какому пределу,

то

ряд (128) называется расходящимся.

(128)

называется

О п р е д е л е н и е

3.

Остатком

ряда

разность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rn =

S -

Sn = zn+i -f- zn+2 -f- ...

 

 

 

Можно показать, что последовательность {Rn}

остатков вся­

кого сходящегося ряда стремится к нулю.

 

и

 

 

 

Пусть ряд (128)

сходится, тогда

limSn= S

 

 

 

 

 

 

 

 

П —► оо

 

 

 

 

 

lim Rn = lim (S — Sn) =

S — S = 0,

 

 

 

П -*■ со

П “*■oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

 

 

.рядов с

комплексными

Изучение вопроса о

сходимости

членами можно свести к изучению сходимости рядов с дей­ ствительными членами, если рассмотреть два числовых ряда,

составленных соответственно из

действительных и мнимых

частей ряда (128):

 

 

 

 

хі + х2

+ хп 4" ••• = 2

хі *

(129)

 

 

П - 1

 

Уі 4~ Уг +

+Уп +

••• — 2

*

(130)

 

 

п — 1

 

Т е о р е м а 1. Для

сходимости ряда

(128)

с комплексны­

ми

членами необходимо и достаточно, чтобы сходились ря­

ды

(129) и (130) с действительными членами.

частичные

сум­

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим n-ные

мы рядов (129) и (130)

соответственно через

ап и о'п,

тогда

108


Sn = orn+icFn. Для того чтобы последовательность {Sn| схо­

дилась и имела конечный предел S=limSn, необходимо и до-

П-> ОО

статочно, чтобы каждая из последовательностей {оп} и {а'п} также сходилась и имела конечные пределы

о = Ііш оп и

о' = Ііш оп' ,

П ~ * о о

ц - > оо

откуда и следует справедливость теоремы, так как только в этом случае существует конечный предел S= o+io'.

Из этой же теоремы получаем необходимый признак схо­ димости рядов с комплексными членами, аналогичный соот­ ветствующему признаку для рядов с действительными члена­ ми.

Н е о б х о д и м ы й п р и з н а к

Если ряд (128) с комплексными членами сходится, то об­

щий член

ряда стремится к нулю, то есть limzn=0. Из сходи-

мости ряда (128)

следует

 

П —*оо

(129)

сходимость числовых рядов

и (130), а это значит:

 

 

 

 

 

1Ішхп =

0 и Н т Уп — 0,

 

откуда и следует

 

 

 

 

 

 

limzn =

Hm(xn +

iyn).

 

 

 

П —*■оо

 

 

 

Т е о р е м а 2. Если сходится ряд,

составленный из

моду­

лей ряда

(128),

 

 

 

 

I

Z] I +

I z2 I + ...+ I z„ I =

2 I zn I •

(131)

 

 

 

 

n = l

 

то сходится и ряд "(128), называемый в этом случае абсолют­ но сходящимся.

Доказательство. Пусть ряд (131)

сходится, тогда из двух

очевидных неравенств

V хп2 +

 

I хп 1^ I Z„ I =

Уп2 ,

I Уп I < I zn 1 = V хп2 +

Уп2

в силу признака сравнения следует абсолютная сходимость рядов (129) и (130). Используя теорему 1, можем сделать заключение, что и ряд (128) сходится. Основные свойства аб­ солютно сходящихся рядов с комплексными членами не от­

109