Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

личаются от соответствующих свойств рядов с действитель­ ными членами.

В дальнейшем нам придется пользоваться в основном аб­ солютно сходящимся рядом, а следовательно, исследовать сходимость ряда (131) с действительными и положительны­ ми членами. Для исследования таких рядов применимы все

§ 2. Функциональные ряды

Ряд, членами котор'ого являются функции комплексного переменного z, называется функциональным:

Здесь предполагается, что все функции, являющиеся члена­ ми ряда (132), определены в одной и той же области. Час­ тичная сумма ряда (132)

S n (z) = fi (z) ~f" hi.7-)+ ••• + fn (z)

также будет функцией переменного г.

Придавая различные значения аргументу z, будем полу­ чать различные числовые ряды. Некоторые из них могут ока­ заться сходящимися, другие — расходящимися.

Если во всех точках z области D образованные таким образом числовые ряды сходятся, то говорят, что функцио­ нальный ряд (132) сходится в области D.

Сумма S (z) = lim Sn(z) ряда (132) определится в этом

Поо

случае в области D как некоторая функция от г. Остатком ряда (132) называется разность между суммой S(z) ряда и его частичной суммой Sn(z):

Rn(z) = S(z) - Sn(z) = fn+1(z) + fn+2(z) + •••

110

В каждой точке сходимости ряда (132)

HmRn(z) = 0.

П-^оо

Последнее условие можно записать так: если ряд (132) в данной точке z сходится, то для любого в>0 можно подобрать такое число N, что при n>N модуль остатка ряда удовлет­ воряет неравенству:

вается сходимость ряда. Поэтому обычно пишут N=N(e, г). Но может оказаться, что для ряда (132) найдется такое чис­ ло N, зависящее только от е и не зависящее от точки z, что при N>N(e) будет выполняться неравенство (133). В этом случае ряд (132) называют равномерно сходящимся. Дадим следующее определение равномерно сходящемуся ряду.

О п р е д е л е н и е . Ряд (132), сходящийся в области D, называется равномерно сходящимся в этой области, если для

имеют непрерывную сумму S(z). Такие ряды можно почлен­

=І I U z ) d z ,

n = l /

где / — любой контур, принадлежащий области D; S(z) — сумма ряда (132).

Т е о р е м а 2 (теорема Вейерштрасса). Если чле'ны ряда (132) аналитичны в области D и ряд сходится в этой области

111

I

равномерно, то сумма S(z) ряда тоже аналитична в этой об­ ласти и

Причем полученный ряд также равномерно сходится в облас­

!области D модуль каждого члена ряда (132) не превосходит соответствующего члена какого-либо сходящегося числового ряда с положительными членами

Следовательно, таким же неравенствам удовлетворяют час­ тичные суммы рядов (132) и (134), а их остатки —

Так как ряд (134) сходится, то для любого е>0 можно подобрать такое N (е) (N зависит только от е, так как ряд (134) числовой), что для всех n>N будет иметь место нера­ венство гп<е. Но тогда |Rn(z) | ^ г п<е.

Из последнего неравенства и следует, что ряд (132) сходит­ ся равномерно.

называется степенным, если со, сь ..., cn — комплексные по­ стоянные числа. Основной теоремой, позволяющей опреде-

112

лять область сходимости -степенного ряда, является теорема Абеля.

у

X.

Рис. 31.

Преобразуем общий член ряда (136) так: