Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Отсюда можно записать:

М + Mq -f Mq' + ... + Щ п + •••

со знаменателем q, меньшим единицы, то ряд (136) сходится абсолютно. В силу признака Вейерштрасса ряд (1361 сходит­ ся и равномерно во всяком круге радиусом | z | < | z 0(.

Действительно, если предположить, что ряд сходится в ка­

1. Ряд (136) сходится во всех точках этого луча.

Из теоремы Абеля тогда следует, что ряд абсолютно и рав­

ся в нуль. В этом случае, на основании следствия из теоре­ мы Абеля, ряд расходится во всейплоскости z, кроме точки z= 0.

3. На луче имеются как точки сходимости ряда (136), от­ личные от z=0, так и точки расходимости ряда.

Из теоремы Абеля следует, что всякая точка сходимости ряда находится ближе к нулевой точке, чем всякая точка расходимости. Следовательно, на луче найдется точка z, от­ деляющая точки луча, в которых ряд сходится, от точек лу­ ча, в которых ряд расходится. В самой точке z (рис. 32) ряд может как сходиться, так и расходиться. Величина |z * |= r называется радиусом сходимости ряда (136), а круг I z I < г —■кругом сходимости ряда.

В первых двух случаях будем соответственно считать, что радиус сходимости равен бесконечности и нулю. Радиус,

114

Рис. 32.

сходимости степенного ряда можно определить, пользуясь признаками Даламбера или Коши. .

Пусть существует конечный или бесконечный предел

L = lim СП+1

П -*-оо

Тогда в силу признака Даламбера ряд (136) сходится, если

то есть при I z| > ~y~ . Следовательно, радиус сходимости ряда

(136) можно отыскать по формуле:

Используя признак Коши,, аналогично можно получить еще

\

одну формулу для определения радиуса сходимости ряда

(136):

где а — любое комплексное число. Подстановкой z—а = г' он

всяком замкнутом круге меньшего радиуса — и равномерно. Как и для ряда с действительными членами, сумма геомет­ рической прогрессии внутри круга сходимости ( | z ] < 1) рав-

1

§ 4. Ряд Тейлора

Рассмотрим степенной ряд

В силу теоремы Абеля данный ряд сходится равномерно в замкнутом круге п, так что \г—а |^ г і < г и имеет своей сум­ мой некоторую функцию f ( z ) :

f(z) = Со + ci(z - °) + с2 (7 - аУ + ••• + cn(z — ß)n + ...

(141)

116

На основании, теоремы Вейерштрасса (§2) этот ряд мож­ но почленно дифференцировать, так как члены ряда (141) аналитичны во всей плоскости г и функция f(z) аналитична внутри круга сходимости ряда | z—а] <г, причем ряд, полу^ ченный от начального дифференцирования ряда (141)

f'(z) = с, + 2 c2 ( z - а) -f ... + псп (z - а)"“ 1-f ..., (142)

также равномерно сходится в замкнутом круге |z —o j^ r -|< r,

Дифференцируя почленно ряд (142), получим новый ряд с тем же радиусом сходимости г. Таким образом, ряд (142)

можно почленно дифференцировать бесчисленное множество раз, и радиусы сходимости получающихся рядов будут те же самые, что и ряда (141):

117

Степенной ряд (144) называется рядом Тейлора для функ­ ции f(z) в окрестности точки z=<а.

Таким образом, мы получим ряд Тейлора для некоторой аналитической в круге сходимости функции f(z), являющей­ ся суммой степенного ряда, где коэффициенты ряда выраже­ ны через производные данной функции.

Выясним теперь, всякую ли аналитическую в некотором круге функцию f(z) можно разложить в ряд Тейлора и будет

jz—a t—Г). Так как функция f(z) аналитична в круге |z —о] sS^ri, то по формуле Коши (глава 7, § 8)

где / обходится в положительном направлении и точка t ле­ жит на контуре /. Преобразуем один из множителей подын-

118

и выражение (146) можно представить в виде суммы беско­ нечной геометрической прогрессии:

При фиксированном z ряд (147) равномерно сходится на ок­ ружности / относительно t (см. пример 1 § 3).

Подставив полученное выражение в равенство (145), по­ членно интегрируя и используя (12Q), будем иметь:

I

Мы получим разложение f(z) в ряд Тейлора для круга )z—о |< г . Это разложение является и единственным, так как мы выяснили при определении ряда Тейлора (144), что лю­

119