Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

функция f(z)

разлагается в ряд Тейлора, равен расстоянию

от точки z=ia

до ближайшей к ней особой точки функции

f(z).

ременного, то и разложения элементарных

функций в ряд

Тейлора имеют тот же вид. Запишем некоторые из них:

1.

ln (1 Н- z) =

Z —

-ту----- 1----- --------- ...

2.

arctgz

= z -

~

- f

-----...

3 cZ = 1 + ~ f r + - i r + -

.

.

Z

Z°

.

Z5

4

sln2 =

T T

' - r

+

-5t

к

,

ZJ

z4

5.

C0SZ= 1

Все разложения в ряд Тейлора получены при а = 0. Мож­

но показать,

что две первых функции ln(l-f-z) и arc tg z ана­

литичны в круге I z I < 1, остальные— на всей

плоскости z, а

потому два первых разложения справедливы

в круге | г | <1,

остальные — на всей z-плоскости.

§ 5.

Ряд Лорана

2

сп(г - «)" = 2 cn(z

«)п + 2

• О48)

П*= — он

П = 0

П — 1

а )

,

,

^

1

= г .

I z —

а I

>

—g—

К 1

Если r< R ,то общей областью

сходимости рядов (148)

f(z) —

2

cn ( z - ß ) n .

(149)

П=—чл

Сходимость ряда (149)

не нарушается

при почленном умно­

жении его на

(z — а)-<к+0

(к =

0; ± 1 ; ±

2; ... ) ,

f(z)

= 2 cn(z — a)n~k- 1

(150>

с*°ттг § (7г (| гл <к - 0; ±1; ± 2.

<151>

циенты

которого определяются по формуле

(151). Заменяя

к на п, последнюю перепишем:

с" -

2^ Г §

( И ^ г - .

<" = 0;

± 1 :

<152>

■Функция

f(z),

являющаяся

суммой

ряда

(149), аналитична

в кольце

г< I z—a |< R . Можно показать,

что всякую

анали­

тическую

в круговом кольце

функцию f(z)

можно

разло­

Внутри кольца

сходимости

г< |z—a | < R

(рис. 34) выбе­

рем произвольную точку z и

построим

концентрическое с

ним меньшее кольцо

Гі <

I z — а I < R,

(г <

г, < Ri <

R),

тоже содержащее точку г. Так

как функция

f(z) аналитич­

на в замкнутом кольце Г і ^ |г —a |'^ R i,

то по формуле Коши

(§ 8, глава 7)

т

J -

Г

f(t)dt

1

f

f (t)dt

’

(1 5 3 )

- - 2*1

J

t — z

2 * i

J

t

- z

h

h

гдеобе окружности

z—а

==Ri и

І2-

1\’

г—а

—г1

обходятся против часовой стрелки. Таким образом,

f(z) мы

представили в виде суммы двух

функций f(z) =fi ( z) +f2(z).

Опуская все промежуточные

выкладки

при

разложении в

ряд интегралов

(153),

укажем

только

лишь,

что

разложе­

ние в степенной ряд первого из интегралов

(153)

аналогично

соответствующему разложению в ряд интеграла

(§

4)

U ( Z ) =

J

dz

=

2

cn(z -

а ) "

,

(154)

и

где

с" = ~2ѴГ j* (t -

(П=° ’

'•

2'

ь

(155)

M z) =

- 2 it11

JГtf(t)— z

dt-

Г

f(t)dt

Л

dt____

... 1 .

1 f f

J

(z - a) -

(t — a)

2iri z — raj

1 -

t — а •

h

h

г —а

(156)

теоремы

(§ 4),

получим:

f2(z) =

2 тс і

(z

I

f (t)(t — a)n- ‘ dt

(z~«)n ’

где

(157)

C-n = 2^7

j f(t)(t -

a)n~‘ dt <n = 2>3- -)•

<158>

h

f(z) = fi (z) + f2(z)

= £ cn (z - в)" + £

=

=

£ c„ ( z - a ) n .

(159)

11= —oo

.

~ ~2~rc~j~

(t 1 (а)П~

dt .(П =

0; + .1;

±2; . . . ) .

(160)

I

Мы получили

разложение

f(z)

в ряд Лорана в

кольце

г< Iz—a | <R . Единственность

полученного

разложения мож­

но проверить следующим образом.

Предположим,

что

функция

f(z)

внутри

кольца

г< Iz—а \ <R

имеет два

различных

разложения в ряд Лора­

на:

f(z)=

2

cn(z -

й)"

И

П — — оо

f(z) =

2

cn'(z -

a)n .

П — ---- 99

Тогда

£

cn( z - a ) n =

£

сп' ( г - а ) п .

П — -— оо

П = — <»

£

сп f (г - a)n- k- ‘ dz =

£

cn' f (z - « y - ^ d z .

П = — оо

щ )

— оо

щ)

I

I