Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Интегралы такого вида рассмотрены раньше. Они равны ну­ лю при п=7^к и 2лі при п= к. Полагая последовательно (к==0;

± 1; ±2; ...), имеем:

Cfc 2 %і = С|/ 2 я і ,

откуда

Ck = сі/ (k == 0; ± 1; - ± 2; ...).

Коэффициенты разложения функции в ряд тождественно сов­ ладают. Это и доказывает единственность разложения функ­

ции f(z)

в ряд Лорана. Ряд (154) называется

п р а в и л ь н о й

ч а с т ь ю

ряда Лорана, а ряд (157)— г л а в

н о й ч а с т ь ю

ряда Лорана. Правильная часть, ряда Лорана есть степен­

ной ряд, сходящийся в круге

|z—a |< R , а главная часть

его

сходится в области |z —а |> г .

Если r<R, то степенные

ря­

ды, представляющие как правильную, так и главную части ряда Лорана, сходятся равномерно внутри кольца г< I z—а I <R и их суммы в этом кольце аналитичны. Можно доказать, что каждая из окружностей |z—a | = R и |z—a | = r , ограничивающих кольцо r < | z —a)<R, внутри которого функ­ ция f(z) разлагается в ряд Лорана, содержит хотя бы одну особую точку функции f(z).

В начале данного параграфа мы предположили, что функ­ ция i (z), которую мы разлагали в двусторонний ряд, анали­ тична в кольце 0< |z—а | <R и не аналитична в самой точке а.

Предположим

теперь, что

функция і(z)

аналитична

не

только в кольце,

но и при z = a

(то есть f(z)

аналитична

в

круге |z—a| <R) .

Тогда при всех п подынтегральная функ­

ция в интеграле

(158) не имеет особых точек

внутри окруж­

ности /і и по теореме Коши все с_п = 0, а главная часть ряда

Лорана (159) исчезает. Коэффициенты сп

правильной части

ряда Лорана (155) на основании формулы

для производной

п-го порядка аналитической функции имеют вид:

f(n)(a)

•

 

с" ~ ІП

 

А это значит, что ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, то есть последний является частным случаем ряда Лорана.

Пр име р . Найти разложение в ряд Лорана функции

f ( z) = (z - l ) ( z - 2 ) ’

приняв а—0.

125

Функция f(z) является аналитической во всей плоскости, кроме точек z —l и z = 2. Это значит — имеется три круговых кольца с центром в точке 0, в каждом из которых функция аналитична и может быть разложена в ряд Лорана (рис. 35).321

1.I z I < 1,

2.l < ) z | <2,

3.I z I >2.

Вкаждом из этих колец можно получить разложение функций в ряд Лорана, не пользуясь формулами для вычис­ ления коэффициентов ряда. Функцию f(z) можно представить

ввиде разности двух элементарных дробей:

_______ 1____________ I_________ 1

(z — \)[z — 2)

—

z — 2

z — 1

Первое слагаемое можно представить как

I

 

1

1

г - 2 ~

'

2 '

z ’

 

 

 

2

126

а функция

 

1

является суммой геометрической про-

1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грессии, модуль знаменателя которой

 

,

то есть

 

1

=

1 +

 

 

 

. + - 5 1

1

 

2 +

2 2 +

"

1

oll

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

Z2

 

 

zn

 

 

 

 

22

23

 

 

2П+

“zn

 

 

 

 

=

-

2

2п+і

•

 

 

 

(*У

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

1

=

1

_ .

 

z .+

Z*

+

... + zn +

...= 2

Z"

Z —

1

1 — Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П=U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(**>

Рассмотрим разложение в ряд Лорана во всех указанных

областях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

В кольце

I z I <d 1 оба ряда

(*)

и

(**) сходятся, так как

знаменатели прогрессий

|

z [

и

 

 

меньше единицы.

Сло­

жив почленно ряды (*) и (**), имеем:

 

 

 

 

 

 

1

 

1

+

1

 

 

Z +

1

z2 +

(2 —

1)(Z — 2 )

 

22

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1 1

—

2п+1

 

zn + ...

 

и

( Н -

2п+і

 

 

В полученном ряде существует только главная часть, и он является обычным рядом Тейлора.

2. Рассмотрим круговое кольцо l < | z | < 2 .

Ряд (*)

в этом

кольце сходится, но ряд

(**) расходится, так

как

| z | > l .

Поэтому разложение

(**)

запишем так:

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

1

1

1 +

~

+

+•

 

 

 

 

 

 

127

—Ь

z a

4-1

(***)

 

 

 

Ряд (***) в рассматриваемом кольце сходится, так как

| z | > 1

и,следовательно,

 

< 1.

Складывая

почленно ряды

(*) и

 

 

1

 

 

2

2 n+i

 

 

 

 

 

 

 

 

(z -

1 ) (z — 2)

 

 

 

 

 

 

 

получаем

разложение в ряд

Лорана

в

кольце

K f z |< 2 .

3. Рассмотрим

 

разложение

в

ряд

Лорана

в

области

J z I > 2 . Равенство

(***) сохраняется,

так

как

при

|z | > 2

— < - 4 - <

С но ряд в. правой части

(*)

расходится,

и по-

Z

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этому равенство (*)

заменяем следующим:

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

- -

и

,

+

А _

Z“

+ ...

z — 2

 

 

1

2

 

7

'

 

7.

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

іи-i

 

 

 

 

+ —

 

J - +

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

•••

=

2

 

 

 

 

 

 

^

zn

 

z

V

 

 

 

 

 

Последний ряд сходится,

так как

| z j >2

и, следовательно,

< 1.

Складывая почленно полученное разложение и раз­

ложение

(***), имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2 "-

1

 

 

 

 

 

 

(z

-

1 )(z - 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы получили ряд Лорана, в котором отсутствует правиль­

ная часть.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы для

вычисления

коэффициентов

ряда

Лорана

(159) обычно приводят к громоздким выкладкам.

В некото­

рых случаях можно использовать более простые приемы разложения в ряд. Для того чтобы разложить в ряд Лора­ на рациональную функцию, правильную рациональную дробь нужно представить в виде суммы простейших дробей (см. при­

мер § 5). Простейшая дробь вида ------ разлагается в ряд,

Z сь

являющийся геометрической прогрессией, а для дроби вида

128

I

(где к — целое положительное число больше еди-

(z — а)К

ницы) разложение можно получить с помощью дифференци­ рования геометрической прогрессии до (к—1 ) порядка.

При разложении f(z) в ряд Лорана можно использовать известные разложения в ряд Тейлора функций ez, sinz, cosz,

ln( 1 + г ), arctgz и др. Так, нзпримр,

чтобы найти

cos-

---- ^ в

окрестности

точки

z = l, можно воспользоваться:

 

 

 

cos z

 

 

1)"

 

+ . . . .

 

 

тогда

 

1

 

1

 

.. .

 

 

cos г

 

 

 

+

 

1

2! (z — I )2 +'

4!(z - I)4

 

 

 

1

 

+ . . .

 

 

 

 

 

+ ( — 1)П-Г7

l)fn

 

 

 

 

 

 

(2 п)! (z -

 

 

 

 

 

 

§ 6.

Нули аналитической функции

 

 

 

Нулем функции f(z), аналитической в области

D,

назы­

вается такая точка а, в которой f(a )= 0.

 

может иметь в

Аналитическая

в области D функция f(z)

этой области конечное или бесконечное множество нулей. Примером функции, имеющей бесконечное множество ну­

лей, может служить функция sinz. Как известно, нулями этой функции являются все точки z = kn, где к = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Нули аналитической функции различаются по их кратности, которая определяется следующим образом: пусть функция f(z) не равна тождественно нулю в области D и точка а — ее

нуль. Тогда разложение функции f(z)

в ряд Тейлора в окрест­

ности нуля а имеет вид:

 

 

f (z) = с, (z — а) + c2(z — я)2 + ...+

cn(z -

я)п + ..., (161)

ибо в этом случае f(a)= c 0= 0.

(161)

этой функции в

Так, как f(z )^ 0 , то в разложении

ряд Тейлора не могут быть равными нулю все коэффициенты

ряда.

отличный

от нуля.

Пусть Сщ есть первый коэффициент,

Тогда разложение (161) примет следующий вид:

 

f(z) = cm(z - я)т + cm + i(z - o)ra+I +

... +- cn(z -

я)'1 + ...

9 Заказ 243

129

Смотрите также файлы