Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

f (z) = (z - a)m [cm + cra+1 (z - a) + ... + cn (z - a)n- m + ...].

Если m=l , то точка а называется простым нулем функции f(z). Если гп>1, то точка а называется ш-кратным нулем функции f(z).

§7. Особые точки аналитической функции

иих классификация

Оп р е д е л е н и е 1. Точка а, принадлежащая области D, называется особой точкой функции f(z), если функция f(z) в этой точке не является аналитической (в частности в особых точках f(z) может быть не определена).

О п р е д е л е н и е 2. Точка z = а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует такая ок­ рестность точки z = a, в которой она является единственной особой точкой. В основу классификации изолированных осо­ бых точек положено разложение функции f(z) в ряд Лорана по степеням (z—а), где а — изолированная особая точка функции f(z).

1. Если разложение аналитической функции f(z) в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней г—а, то точка г = а называется устранимой особой точкой функции f(z).

2.Если разложение аналитической функции f(z) в ряд Лорана содержит конечное число членов с отрицательными степенями z—а, то точка а называется полюсом функции f(z).

3.Если разложение аналитической функции в ряд Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степе­ нями разности z—а, то точка z—а называется существенно особой точкой функции f(z).

Следует иметь в виду, что нужно рассматривать те лорановские разложения, которые сходятся в некоторой окрест­ ности |z—a | < R исследуемой точки,

В качестве примера рассмотрим ряд Лорана

Он содержит бесконечное множество членов с отрицательны­

130

2~

Следовательно, область сходимости данного ряда есть коль­

функции, для которой начало координат является правильной точкой, и вёё ее особые точки сводятся к двум простым полю­

в ряд Лорана в каждой внутренней точке круга |z —a| <R,.TO, внутри этого круга нет особых точек. Особые точки могут быть только на его границе, то есть на окружности |z—ä\ = R,

Лорана по степеням разности z—а будет состоять только из правильной его' части:

г —а. Функция l(z) совпадает с суммой ряда во всех точках z круга его сходимости. Если положить f (а) = с0, то эта функ­ ция совпадает с суммой ряда и в точке г —а. Определив функ­

•во всей плоскости и представляется в каждой точке плоско­ сти ряда Тейлора:

sin z ----- z

3! + 5! 7! + "•

Считая Zt^O, разделим этот ряд на г:

нием единственной точки z = 0. Поэтому точка z=0 есть уст­ ранимая особая точка данной функции. Так как сумма ряда

Эта функция совпадает с суммой ряда и в точке z = 0.

Если точка а есть устранимая особая точка функции f(z),

то lim f (z) = со. Отсюда следует, что существуют такие числа

2-*а

«М>0 и б>0, что If(z) I <М при |z—a |< 6, то есть в доста­ точно малой окрестности устранимой особой точки данная функция ограничена по модулю. Справедливо и обратное ут­ верждение: если функция ограничена в окрестности изолиро­ ванной особой точки, то эта точка есть устранимая особая

точка.

2. П о в е д е н и е ф у н к ц и и в о к р е с т н о с т и п о л ю с а .

132

Mm(z — a)m f(z) = с_га или limf(z) = Hm(z — а)m

то есть в окрестности своего полюса аналитическая функция неограниченно растет.

Каждый пблюс функции f(z) будет нулем функции *

и наоборот, каждый нуль функции f(z) будет полюсом функ-

ции

1

f(.z)

Пр и м е р . Рассмотрим функцию ctg г = cos z • Полюсами

этой функции будут нули функции smz' то есть точки z = 2 kя, где к — любое целое число. Напишем разложение ctgz в ряд

Ряды (163) и (164), в силу их равномерной сходимости, до­ пускают почленное деление. Считая г = 2кя — любое целое число, разделим ряд (163) на ряд (164) по правилу деления многочленов. Выполнив операцию деления,1 получим

z=0. Это разложение свидетельствует, что точка z = 0 являет­ ся простым полюсом функции ctgz.

133

3- Проведение ф у н к ц и и .

в о к р е с т н о с т и с у щ е с т в е н н о о с о б о й т о ч к и

Поведение функции в окрестности существенно особой точки впервые было изучено Ю. В. Сохоцким. Им доказана следующая теорема, которую мы приводим без доказатель­ ства.

Т е о р е м а . Каково бы ни было комплексное число А (ко­ нечное или бесконечное), существует последовательность зна­ чений аргумента

' ,

сходящаяся к существенно особой точке а, для которой по­ следовательность значений функции, {f (zn)} сходится к А, го есть

Это разложение показывает, что точка z= 0 является сущест­ венно особой для данной функции.

Покажем, что для любого числа А можно подобрать та­ кую последовательность точек Zk->0, что соответствующая по­

134