ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
Выражения для х ь хь х 3и В, записанные в безразмерной форме, Имеют вид
T
(ПІІ. 9)
Здесь |
Хъ |
Хз и |
ß |
определяются, как и ранее, выражениями |
|
(ПН . 5а) |
и (П П . |
7а), |
а |
т — (ПН . |
56). Для вычисления эллипти |
ческих функций Якоби, |
входящих |
в (П П . 9), можно, как и в пре |
|||
дыдущем случае, применить аппроксимации тригонометрическими функциями, однако с целью повышения точности расчета удобно воспользоваться выражениями эллиптических функций через тэта-функции. Используя соответствующие приближенные выра жения для тэта-функций, можно получить удобные аппроксима ции для эллиптических функций Якоби, после чего из (ПИ . 9)
будем |
иметь |
h |
|
|
h3 |
cos3 2yx -f- |
О (h4)}, |
|||
Хі (") = |
2-І/<{1 —)—4 |
|
cos 2ух -f- S/г2 cos2 2yx -|- 8 |
|
|
|||||
X2 |
(x) = |
\j2hu |
cos yx {1 + |
2/i cos 2-yx -j- /г2 [1 -f- 4cos2yx(l — 4sin2yx)]-|- |
||||||
Хз |
(T) = |
— |
-f- |
2h3 |
cos 2yx (1 — 4 sin2 yx) -}- |
О (h4)}, |
(П II. 10) |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
sin yx(l -(- 2/icos2yx-|-/i2[l -|-4sin2yx(l — 4cos2yx)J-)- |
|||||||||
|
|
|
+ |
2/г3 cos 2yx (1 — 4 cos2 yx) |
О h |
|
||||
|
|
|
|
( 4)}, |
|
|||||
ß (x)= — G/г'/- соч2ух (1 -}-4/icos 2yx-)-2/i2[2cos 2yx (1 -j-3cos 2yx)— 1]-}- ~f- 8h? cos 2yx (4 cos2 yx cos 2yx — 1) -j- О (h4)}.
Здесь |
/г = e-1t= 0,04321, y = |
-----~ 0,847. |
(П II. 10a) |
|
1 |
2К (2-7») |
v |
в) «Гиперболический» случай.
Разложения для полупериодов ш и ш ' имеют вид
+ |
|
(пп-12) |
а'= т[* “ т (*')2- S |
(к'У + 0 ((*')6)]. |
(пп -13) |
Ю Нелинейные системы |
145 |
В этом случае оказываются полезными аппроксимации гипер болическими функциями.
Следует отметить, что рассматриваемый случай фактически сводится к случаю а), если воспользоваться формулами второго главного уиимодулярного преобразования для эллиптических
функций Якоби (Ахиезер |
1 |
(1970)) |
k') |
|
|
k) = |
|
|
||||
sn |
(и, к) |
sn (іи, |
cn (и, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
i |
cn (in, |
k') ’ |
|
|
|
||||
|
|
( |
|
dn |
(а, к) = |
dn (іи, |
k’) |
|
(ПП. 14) |
|||
cn |
|
cn |
(іи, |
k') |
’ |
|||||||
|
іи, к') ’ |
|
|
|
|
|||||||
поскольку дополнительный модуль к' < 1. Таким путем с точ ностью до членов порядка (к')і включительно можно получить следующие приближенные выражения, справедливые при малых значениях аргумента т:
|
|
|
+ (7 ch2 ух + 25) |
+ |
О ((/с')6)}, |
|
||
X* W |
l |
1+ (1- 1 sh2 T*) (ir + |
|
|
|
|
||
ъ |
|
|
+ (7 5 -1 9 c h * 7x ) ^ |
■ 0 |
|
|
|
|
|
,) = - ^ Ь Ь т т { і + 4 ( А ') а + |
|
■ 0 |
( № } , |
(ПП.15) |
|||
|
|
|
+ ( 7 5 - 2 с Ь * т с ) ^ - |
|
||||
ß (-) = |
(3 Ыі2 Tт: — 2) [ l + у (/с')2] + |
[ 93 |
32 |
|
Lh2 yi |
■ 2ІХ |
||
2 Ch2 ^ |
|
|||||||
|
Здесь |
x3(Ä')4 + 0 ( ( m |
M < T - |
(П ІІ. 15a) |
||||
|
|
|
T = i + | ( f t ' ) 2+ g ( Ä T + ö ( ( m |
|||||
s'Zii Xn Хз и ß имеют тот же смысл, что и в (П II . 5а) и (П II. 7а). Вследствие экспоненциального возрастания гиперболических функций, возникающих при разложении по степеням параметра (/с')2, полученные формулы оказываются применимыми лишь при достаточно малых значениях аргумента т, определяемых условием т Q/2. Для получения формул, справедливых в не которой окрестности 11 —Q | <Д е, воспользуемся формулами из менения аргумента эллиптических функций на четверть периода
и половину периода (Бейтмен и Эрдейи (1967))
/7у |
. \ СИ И |
, |
/ ТУ 1 \ |
~~г~ 7 / ^ |
sn ( К |
± и ) = ш |
СП ( Х ± и ) = + к ' д- 7 , |
||
(П Н . 16)
dn {К + и)
dn и ’
146
что приводит к следующим аппроксимационным выражениям:
Xi (s + |
х) = |
A' ch ух Jl + (l — |
(А:') 2 + |
|
||||
Xa+(2[sh2+ |
^X) (4= |
% |
|
|
Qc' |
|
|
|
k' sh^ -TT2j(l) ++ (Зl] -і у^ |
+ )О (й')2G)},+ |
|
||||||
+ |
[ ch* r |
(4 ° f 7Т~ 27) + |
з ] ^ |
+ |
Q fo '6) } , |
(1111 |
||
Хз |
+ |
*) = |
{l + |
(1 - |
sh2 ft) {Jf |
+ |
|
|
+(S[sh2 Tx (Sh2 Tx _ 4) + |
7] ^ |
+ 0 (*'G)}, |
|
|||||
ß(2+x) = l-3 (A ')2sh2Tx + | - sh2Tx X |
|
|||||||
X |
(sh2 Tx - |
3) (k'Y + 0 ((/c')6)}, |
h I < |
s /2- |
|
|||
Соответствующие формулы, справедливые в некоторых окре стностях точек 2Q, 3Q и 4Q, получаются с помощью соотношений
симметрии |
|
|
|
|
|
|
|
Хі (" + |
2Q) = |
Xi |
Xi(x+ |
3S) = X i( x + 2), |
Xi (x + |
4S) = |
Xi (x)> |
2S) = |
~ X(х).(x)> |
Xa (x + |
4S) = |
Xa (x). |
|||
Xi (x + |
t |
X2( x + 3 2 ) = - Zl(x+2), |
|||||
Хз (x + |
2S) = |
—Хз (x)> |
Хз(т + |
32).—— Z3(x-f-2), |
Хз (x + |
4S)(ri II. i8) |
|
ß(x + |
32) = ß(x+2), |
ß (x + |
42) = |
ß(x), |
|||
ß(x + |
22) = |
ß(x), |
|
|
|
= |
Хз (*). |
|
|
|
|
|
|||
которые нетрудно вывести из аналогичных формул симметрии для эллиптических функций Якоби (Бейтмен и Эрдейи (1967)).
В табл. 2 и 3 приведены результаты сравнения аппроксима ционных формул с точными формулами
х і " ) = |
1 |
+ (ft')2- f 4 ( * ' ) é] d n ( ^ , к). |
|
|
|||||
Z(«0 _ |
1 + |
2 |
4 ( Л Т ] а п ( « . А), |
|
|
||||
|
|
^ |
|
(ГІII. 19) |
|||||
Хзт) — |
|
V2 [ і |
2 |
J |
1 |
8 |
k), |
||
|
— |
|
1 (k')i]sn(Kti, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ßo») = |
_ 2 [ l |
+ 1 |
(ft/)* + |
3 (A')4] + |
|
|
|||
+ |
3 [1 + |
(k’f |
+ |
2 (&')“] sn2(ÄE, k) |
|
|
|||
при /с2=0,7 и 0,8 соответственно с использованием таблиц эллип тических функций (см. табл. 2 и 3)
10* |
147 |
'Таблица 2. |
Сравнение аппроксимацііошіых формул (І1ІІ. |
15) и (П 11. 17) |
||||||
|
|
с точными (П II. 19) |
при № = 0,7 |
|
|
|||
|
|
Хі |
|
Ь |
. |
- & |
|
-Р |
|
прибл. |
точн. |
прибл. |
Т О Ч Н . |
прибл. |
Т О Ч Н . |
прибл. |
Т О Ч Н . |
|
|
|
|
|||||
0 |
1,44 |
1,44 |
1,23 |
1,23 |
0,00 |
0,00 |
3,44 |
3,44 |
0,1 |
1,42 |
1,41 |
1,20 |
1,20 |
0,36 |
0,36 |
3,27 |
3,25 |
0,2 |
1,37 |
1,35 |
1,14 |
1,13 |
0,69 |
0,69 |
2,80 |
2,73 |
0,3 |
1,29 |
1,27 |
1,04 |
1,02 |
0,98 |
0,97 |
2,04 |
2,05 |
0,4 |
1,18 |
1,165 |
0,91 |
0.89 |
1,22 |
1,21 |
1,26 |
1,28 |
0,5 ‘ |
1,05 |
1,06 |
0,76 |
0,73 |
1,40 |
1,40 |
0,48 |
0,56 |
0,6 |
0,97 |
0,97 |
0,59 |
0,58 |
1,55 |
1,53 |
-0 ,1 2 |
-0 ,0 3 |
0,7 |
0,89 |
0,89 |
0,46 |
0,43 |
1,64 |
1,63 |
—0,55 |
-0 ,4 6 |
0,8 |
0,83 |
0,83 |
0,28 |
0,28 |
1,69 |
1,69 |
-0 ,8 2 |
-0 ,7 6 |
0,9 |
0,80 |
0,80 |
0,14 |
0,14 |
1,72 |
1,72 |
—0,95 |
—0,94 |
1,0 |
0,79 |
0,79 |
0,00 |
0,00 |
1,74 |
1,74 |
—1,00 |
-1 ,0 0 |
Таблица 3. |
Сравиенне аппроксимационных формул (П П . |
15) и ( П Н . 17) |
||||||
|
|
|
с точными (П II. 19) при к2= 0,8 |
|
||||
е * |
|
Хі |
|
Х2 |
|
ъ |
|
-ß |
прпбл. |
Т О Ч Н . |
прибл. |
Т О Ч Н . |
прибл. |
Т О Ч Н . |
прибл. |
Т О Ч Н . |
|
0 |
1,26 |
1,26 |
1,14 |
1,14 |
0,00 |
0,00 |
2,84 |
2,84 |
0,1 |
1,23 |
1,23 |
1,11 |
1,10 |
0,36 |
0,36 |
2,65 |
2,64 |
0,2 |
1,67 |
1,67 |
1,04 |
1,03 |
0,68 |
0,68 |
2,16 |
2,15 |
0,3 |
1,07 |
1,06 |
0,92 |
0,91 |
0,95 |
0,96 |
1,47 |
1,46 |
0,4 |
0,96 |
0,95 |
0,78 |
0,78 |
1,18 |
1,17 |
0,80 |
0,79 |
0,5 |
0,85 |
0,84 |
0,64 |
0,63 |
1,34 |
1,33 |
-0 ,1 9 |
-0 ,1 8 |
0,6 |
0,75 |
0,75 |
0,51 |
0,49 |
1,44 |
1,44 |
—0,28 |
—0,27 |
0,7 |
0,67 |
0,67 |
0,37 |
0,36 |
1,53 |
1,52 |
—0,63 |
—0,62 |
0,8 |
0,61 |
0,61 |
0,24 |
0,23 |
1,57 |
1,57 |
—0,85 |
-0 ,8 4 |
0,9 |
0,58 |
0,58 |
0,12 |
0,12 |
1,60 |
1,60 |
—0,97 |
—0,96 |
1 , 0 |
0,56 |
0,56 |
0,00 |
0,00 |
1,61 |
1,61 |
—1,00 |
—1,00 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
П р и л о ж е н и е |
III |
||
ОБЩ ИЙ |
М ЕТОД В Ы Ч И СЛ ЕН И Я К О РРЕЛ Я Ц И Й |
|||||
|
ГАУССОВСКОГО СЛ УЧ А Й Н О ГО ПРОЦЕССА] |
|||||
|
СО СВЯЗАН Н Ы М |
С НИМ Ф УН КЦИ ОН АЛ ОМ |
||||
Пусть |
f. |
(т) |
(і= 1 , . . ., |
N , |
0 < 4 |
— случайный процесс. |
|
|
|||||
Статистические свойства этого процесса полностью описываются его характеристическим функционалом
148