Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Их можно почленно складывать и умножать на вещественные числа, т. е. они образуют векторное пространство, базисом кото­ рого являются элементы группы, т. е. 3!=6-мерное пространство. Далее, нх можно перемножать как многочлены, пользуясь зако­ ном умножения элементов группы

Тогда это векторное пространство превращается в алгебру. Она называется групповой алгеброй 21. Алгебра также представляется

на число и произведению двух элементов групповой алгебры со­ ответствуют сумма, произведение на число и произведение двух операторов. При п ^ 3 это представление является точным, т. е. ненулевая линейная комбинация (II I. 7) дает ненулевой оператор. Достаточно проверить действие этого оператора на тензоре, у ко­ торого лишь одна компонента, например /123, отлична от нуля.

Каждый член суммы 2 а (s) sf будет тензором, у которого одна компонента отлична от нуля, причем эти компоненты разные, т. е. сумма не может быть нулем.

Лемма 1, доказанная в предыдущем пункте, означает, что

Если какой-нибудь идемпотент е. далее неразложим на ортого­ нальные идемпотенты,то Подпространство ë j f й неприводимо отно­ сительно тензорного представления ортогональной группы.

140

Таким образом, все свелось к разложению (П I. 8), т. е. к изу­ чению структуры групповой алгебры *21 группы S 3. ^Группа S 3 имеет два образующих элемента:

странство с базисом (П I. 11). Если все элементы алгебры умно­ жить справа на один какой-нибудь элемент, то получится линей­

е3= (2е — а — с2 -f- 2т — at — оЧ),

е4= -^- (2е — а — а2— 2т + at -f- а2т).

Без труда проверяются (П I. 8) и (П I. 9). Теперь докажем нераз­ ложимость этих идемпотентов. Легко видеть, что ое1и те4 пропорцноиальиы elt или 21е4 — одномерное подпространство. То же самое можно сказать о 21е„. Уже отсюда следует неразложимость ег и е2. Можно проверить, что других идемпотентов, для которых 21е, одно­

ё4®Г0? ві — это оператор симметрирования, ё2 — альтернирования, т. е. ё ^ о 1— симметрические, ё2 0 — антисимметрические тензоры со следом нуль, ёд^о — это СГТ-тензоры. В самом деле, проверим (П І. 1). Свойство (а):

141

Пространство ё4#*0 состоит из тензоров, также удовлетворяющих свойству (б), но вместо (а) имеет место антисимметрия по последним индексам: (ё -f-т) с^”0= 0, назовем их квази СГТ-тензорами. Итак, пространство тензоров со следами нуль представимо в виде орто­ гональной суммы четырех инвариантных неприводимых под­ пространств: а) симметрических тензоров, б) антисимметрических тензоров, в) СГТ-тензоров, г) квази СГТ-тензоров. Теорема до­ казана.

П р и л о ж е н и е II

АСИ М ПТО ТИ ЧЕСКИ Е ВЫ РАЖ ЕН И Я РЕШ ЕН И Й

ИХ А РА К Т Е РИ СТ И Ч Е СК О Й ФОРМЫ

ДЛ Я Д И Н АМ И ЧЕСКО ГО ТРИ П Л ЕТА

ЧЕ Р Е З ЭЛ ЕМ ЕН ТА РН Ы Е Ф УН К Ц И И

Поскольку динамические системы типа триплета весьма часто встречаются в практических приложениях, полезно подробно изучить их асимптотические свойства. С этой целью представим решения (7. 33), (7. 336) уравнений движения (7. 13) в асимпто­ тической форме, воспользовавшись удобными аппроксимациями рассматриваемых эллиптических функций, построенными с по­ мощью тригонометрических и гиперболических функций.

В дальнейшем без ограничения общности ради простоты будем считать, что коэффициенты уравнения (7. 13) удовлетворяют усло­ виям

Рассмотрим различные частные случаи, а) «Тригонометрический» случай

/с2< 1 , еі — 2а — о, е2 = — а -j- 8, е3 = —а. (ПП .2)

С помощью формул (7. ЗЗв), (П П . 2), (7.37) и (7. 38) получаются следующие разложения для полупериодов ши ш' :

Q

(П II. 3)

142

(IIII. 4)

В данном случае полезно использовать аппроксимации основ­ ных характеристик триплета тригонометрическими функциями. Для этого воспользуемся известными разложениями эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (см., например, Бейтмен и Эрдейи (1967)), а также соотношениями (7. ЗЗв), (II И . 2), после чего из (7. 33), (7. 336) и (7. ЗЗг) получим следующие приближенные вы­ ражения для решений уравнения (7. 13), справедливые с точностью до величин второго порядка малости ~/с4 включительно:

Аппроксимацию для характеристической формы (7. 35) можно получить с помощью известной формулы связи '(p-функции Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби (Бейтмен и Эр­ дейи (1967))

143

В табл, і приведены результаты сравнения расчетов по ап­ проксимационным формулам (П II. 5), (П II. 7) и поточным фор­ мулам

= ( ! - ! + !& *)dn(tfÈ, к),

х^ ) = к ( ^ - ^ с п (іа, к),

в которых значения эллиптических функций брались из таблиц,

Прямоугольник периодов функции Вейерштрасса ip (z) в z- плоскости является в этом случае квадратом, а ее полупериоды о> и ш' выражаются следующим образом (Бейтмен и Эрдейи (1967)):

144