ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
пространства с матрицей А = {аіа} соответствует ортогональное преобразование в пространстве тензоров
|
|
f (jk = |
aiaaj$ak |
|
|
- |
\ |
f |
(П I. 2) |
||||
Это преобразование назовемAП <3). Элементарно проверяется, что |
|||||||||||||
если матрице |
А |
соответствует П (3), |
а |
В |
соответствует |
В {3), |
то |
||||||
произведению |
этих матриц |
B |
соответствует |
произведение тен |
|||||||||
зорных преобразований |
А 13)В (Я>, |
т. |
е. |
А В У 3)= А (9>В |
1Я}. |
Это со |
|||||||
|
|
|
( |
|
|
||||||||
ответствие называется представлением группы ортогональных матриц линейными преобразованиями в тензорном пространстве (ортогональными). В пространстве можно выделить линейные подпространства, обладающие следующим свойством: если тензор / лежит в этом подпространстве, то и преобразованный тензор A l3)f также находится в этом подпространстве. Такие подпространства
будем называть инвариантнымиijk= f jik= f ikj. -Пример. Тензоры, симметричные |
||||||
по всем индексам,i |
образуют инвариантное |
подпространство. В |
||||
самом деле, пусть |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
= |
aiaajßakff |
aßf ~ |
f ijk |
|
f 'kji — akyajßaiaftßa = ak-iaj$aiJ<xfa |
||||||
|
|
|
|
|
||
и т. д. Второй пример. Тензоры, удовлетворяющие условиям (П I. 1), назовем их СГТ-тензорами, также образуют линейное инвариантное подпространство. Это проверяется точно так же. Заметим, что подпространство СГТ-тензоров является частью другого, состоящего из тензоров, все «следы» которых равны нулю
|
|
|
|
^\ік |
f iji /ijj |
|
|
|
|
|
|
|
||
В самом деле, из (П I. 1) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
üj — |
0, |
ijj — |
|
f jij |
fjj( |
= 0. |
|
F 0. |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
Оно |
||||
Подпространство тензоров с нулевыми следами назовем |
|
|||||||||||||
инвариантно |
|
|
a(aaißak-jfaß |
|
= |
akyfааі~0 |
|
|
|
|||||
|
/»•»* = |
|
|
Y ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
согласно свойствам ортогональных |
матриц. |
приводимым, |
если |
|||||||||||
|
Инвариантное |
|
подпространство |
|
назовем |
|
|
|
|
|||||
неприводимым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в нем содѳряштся другое инвариантное подпространство, отлич |
||||||||||||||
зГ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
ное от нуля и от него самого. В противном случае оно называется |
||||||||||||||
|
|
Если в каком-нибудь инвариантном, |
пространстве |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S ' ’ |
|
|
то совокупность |
|||
|
содержится инвариантное подпространство |
|
||||||||||||
тензоров / |
|
ортогональных к тензорам из |
|
также образует |
||||||||||
инвариантное подпространство^"" |
и |
|
представимо в виде орто |
|||||||||||
гональной суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так как преобразования А (3> сохраняют скалярное произведение, а следовательно, и ортогональность тензоров. Если, в свою очѳ-
136
редь, одно из подпространств Ж " , ( Ж ' п окажется приводимым* то и его можно разложить. Продолжая этот процесс, разложим все пространство сЖ в ортогональную сумму неприводимых под пространств. Теперь мы можем сформулировать основную теорему:
подпространство СГТ-тензоров является неприводимы»! инвариант ны»! подпространством. Это и есть другая формулировка дока зываемого факта. Другими словами, если к условиям (ПІ.1) добавить существенно новое тензорное условие, то тем самым в подпространстве СГТ-тензоров выделится собственное инвари антное подпространство, которое, следовательно, должно быть
нулевым. |
Введем еще |
три |
подпространства |
тензоров специального |
||||||
3. |
||||||||||
вида |
Ж' |
|
— Р Ф.-jfk |
|
^jkfi |
+ |
hifj)< |
|
||
|
|
1—^jkU — Р fiijfk |
+ |
|
°kifj)}> |
|
||||
|
|
^jkfi + |
|
(П 3) |
||||||
|
&2 = |
|
p |
|
+ |
hkfi |
+ |
|
||
|
<Гз = {W , - |
|
( V * + |
|
|
|
||||
где /,■ — вектор ^-мерного пространства, а константа р подобрана таким образом, чтобы эти три подпространства были ортогональны между собой
ІЛ- |
Jk |
— Р fiijfk |
^jkfi |
+ |
|
,■ /,•)] • |
fijkSi — Р fiijëk |
+ |
°jkëi |
+ Sfc,éTy)] = |
||||||||||||||||
|
fkëk — p + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
Wkëk |
+ |
fkëk |
+ |
fkëk) — p (fkëk |
+ |
nfkëk |
+ |
fkëk) |
+ |
||||||||||||||
|
nfkëk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
{n |
|
|||||||||
T.+ |
P2 (3 |
/Г + |
|
fkëk) = |
fkëk |
|
|
|
|
|
|
+ 2) |
P |
+ |
3 |
+ |
2) p2] = 0 |
|||||||||
6n + |
|
|
\Jn3F.1 — 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
и Д., T. e. |
1 = |
|
|
|
2 + |
|
|
-f- |
n |
— 2. |
Эти подпространства инва |
|||||||||||||||
риантны |
ai<flj$ak-( |
[%/-f — |
P (Kfif-t |
+ |
|
+ |
|
8Ta/ß)] = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
/ k |
- |
p ( К А |
+ v ; + |
|
|
|
' |
|
|
|
( п L 4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где /'= a ici/a. В силу этого между тензорами такого специального вида и векторами f . устанавливается линейное взаимно однознач ное соответствие, такое, что если тензору f ( . k соответствует вектор
/,., то A (3)f ijk соответствует AJ-. Иными словами, в подпростран
ствах Ж \, Ж ъ , Ж 3 представление равносильно действию группы ортогональных матриц в своем собственном и-мериом простран стве. Отсюда следует неприводимость этих подпространств. Далее,
подпространства Ж г, Ж ъ , Ж з ортогональны к Ж о,так как свертка тен зора с нулевыми следами с 8у всегда дает нуль. Размерность под
пространства Жо равна п3—3п, а размерность каждого из под пространств Ж Жъ, (^зРавиа 11, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему: пространство тензоров третьего ранга раз
лагается в ортогональную сумму инвариантных подпространств:
Ж —Ж $ - { - Ж Х Л~ Ж ъ~\~ Ж з, |
(ПІ.5) |
|
137 |
причем tß'г, &Г2, <^“3 — неприводимы. Нам осталось разложить $~0 на неприводимые составляющие.
4.Каждому инвариантному подпространству можно поставит
всоответствие оператор ортогонального проектирования на это
подпространство. Данный |
оператор |
обладает свойством |
Р 2= Р . |
|||||||
Для тензоров / из этого |
инвариантногоРподпространстваР имеем |
|||||||||
P f = f , |
|
|
|
|
Р { = |
0. Из инвариантности под |
||||
= А ' 3)Ра для ортогональных к ним |
|
|
||||||||
пространства следует перестановочность |
со всеми Л <3>, |
А {3) = |
||||||||
|
(достаточно проверить это равенство для тензоров под |
|||||||||
пространства и его ортогонального дополнения). |
|
|||||||||
Обратно, всякий симметрический оператор, обладающийPсвой |
||||||||||
ством |
Р 2= Р |
и перестановочный со всеми |
А [3), |
определяет инва |
||||||
риантное |
подпространство |
тех тензоров |
/, для которых |
f = f . |
||||||
|
||||||||||
Если инвариантное подпространство разлагается в ортогональную сумму двух других, то и для соответствующих проекторов имеем
разложение |
|
Р іРР2 = |
Р ^ |
= |
|
|
|
|
= |
Р , + |
Р „ |
|
|
Лемма 1. |
Любой |
линейный |
|
|
0. |
в подпространстве dF0, |
|
оиератсо, |
|||||
перестановочный со всеми Л (3), |
есть линейная комбинация про |
|||||
стейших операторов, |
обладающих |
этим |
свойством, сводящихся |
|||
к перестановкам индексов тензора. Все такие операторы симмет ричны относительно введенного скалярного произведения.
Мы будем при доказательстве этой леммы опираться на недо казываемую нами, но широко известную основную теорему тео рии ортогональных инвариантов (см., например Вейль (1939)). Будем называть ортогональным (полиномиальным) инвариантом
такой многочлен от координат системы векторов /, |
g, h |
, |
который |
||||||||
не |
изменяется, если вместо |
координат |
этих |
векторов |
|
подста |
|||||
вить координаты векторов |
A f, A g |
, |
А h, |
где |
А |
— произвольная |
|||||
ортогональная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
Основная теорема теории ортогональных инвариантов. |
Любой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полиномиальный инвариант от векторов f, g , h можно записать виде многочлена от попарных скалярных произведений этих векторов. Иными словами, скалярные произведения образуют
базис системы инвариантов.
То же самое можно сформулировать так: любой тензор, по стоянный во всех системах координат, есть линейная комбинация произведений тензоров 8,( .. В самом деле, пусть p ijlci — такой тен
зор. Свернем его с произвольными векторами /, g, h, г:
P ijb ifiS M i-
Результатом свертки будет скаляр. Из постоянства тензора р согласно приведенному выше определению следует, что это —
Pijkiинвариант. |
Значит его можно сзаписатьЪік |
виде суммы членов вида |
|
с (/А-)(£<г<)- |
Так как векторы |
в |
|
произвольны, то это значит, что |
|||
есть сумма членов вида |
8^.;. . . |
|
|
138
Пусть теперь |
имеется линейное преобразование |
Т, |
переста |
|||||
новочное со всеми И <3). |
Для его матрицы |
^ |
имеем |
|
||||
или |
^ijk, |
«ß/W fy |
aia.aj^ak-fa^f, rsl |
|
|
|
||
|
----- |
|
Он |
есть сумма |
||||
^ijk, mnp |
®ia®/ß®*Y®mr®n»®/H^aßif,ral' |
|||||||
Иначе говоря, |
mnp |
есть |
постоянный тензор. |
|||||
членов вида |
|
|
с8,- Л ,„ Ѵ |
|
|
|
(П І.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку мы рассматриваем сейчас лишь тензоры с нулевыми следами, то в случае, если в набор 5 в выражении (П I. 6) входит 8 с индексами из одной группы, например Ьпр, применение такой матрицы к тензору даст нуль, так как тензор нужно будет свер нуть по двум индексам. Значит, остаются лишь слагаемые вида
с |
Ь.п |
8 и т. п. |
Действие указанной матрицы на тензор сводится |
|||
к перестановке его индексов |
f'ijk= b.nbj n bkpfmnp= f jik. |
Симметрия та |
||||
|
непосредственно |
|||||
кого |
оператора |
проверяется |
|
|||
Лемма |
1 тем |
(77, |
g) = fjtkgijk = |
fijicgj,k = ^ тё)- |
|
самым доказана. |
|
||||
5. |
Введем |
в рассмотрение |
группу подстановок индексов |
||
|
|
|
s _ / |
і |
2 З'У ’ |
|
|
|
~ \ v |
2' |
|
где через 1', 2', 3' обозначены те же индексы 1, 2, 3, но в другом порядке. На примере напоминаем правило умножения подста новок
/1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3\
[і 3 2) U 3 1 / = \2 1 З)ш
Каждой подстановке s соответствует линейный оператор в тензор ном пространстве#" (или#"0), состоящий в соответствующей пере
становке индексов; обозначим этот оператор через s. |
f = s f |
озна |
||||||||||||
чает, что каждая компонента тензора /' |
равна некоторой компо |
|||||||||||||
ненте тензора / с теми же |
значениями |
индексов, |
но в |
другом |
||||||||||
порядке, определяемом |
|
подстановкой. |
Именио, /і,і,і3=/ѵ ѵ у > |
|||||||||||
Например, |
s = |
/1 |
2 3\ |
|
f J2S = |
f23l, faii = |
fm |
и т- Д- Лѳгко ШІДеть, |
||||||
|
I |
2 |
3 j, |
|
|
|
|
|||||||
что соответствие |
s - » s |
обладаетS 3свойством s1s2= |
s1s2, т. |
|
е. яв |
|||||||||
ляется представлением |
группы |
линейными операторами в тен |
||||||||||||
зорном пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим |
формальные линейные комбинации подстановок |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a = 2 s ( s ) s . |
|
|
|
|
(П І. 7) |
||
139