ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
а уравнение для г/1' |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя |
{ш—If) Дг;(1) + |
ia-U (t) sin г/[уш + Ду(1,] = |
0. |
(1.54) |
|||||||
в (1.49) |
|
разложение |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ѵ(ѵ = |
2 |
|
(і) ѳхр {г/гг/}, |
|
|
||||
получаем для функций |
|
|
z_ = |
( v p - 0$ ) ß , |
U(t) |
(1.55) |
|||||
го = |
^ 1}» |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
систему уравнении |
s |
t/ + |
4 |
0z _ = - |
Л |
R |
|
|
|
||
|
|
d |
, , . |
|
1 |
1 |
U , |
|
|
||
|
|
|
|
- z |
|
^ |
|
|
|
||
|
|
dtzo |
a-Uz_— |
|
a'‘ |
|
|
|
|||
|
|
|
— z0, |
|
|
|
|||||
|
|
d |
|
а |
TT |
|
1 |
|
|
(1.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T t Z- ~ ~ 2 Ü Z 0 ~ ~ ~ R Z- ’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
т г ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
d t Z+ : |
|
|
|
|
||
Уравнение для величины z+ отщепляется от остальных уравне ний, и, следовательно, возмущения, соответствующие величине z+, могут только затухать со временем. Оставшиеся три уравне ния образуют простейшую трехкомпонентную систему гидроди намического типа (см. следующие главы). Эта система уравнений эквивалентна динамическому описанию движения гироскопа с ани зотропным трением, возбуждаемого моментом внешних сил отно сительно неустойчивой оси. Анализ системы (1. 56) показывает,4
что при R <[ і?кр = \]2 устанавливается ламинарный режим с £ 7 = 1 ,
zf = 0. При Ry>\J2 этот режим становится неустойчивым и устанавливается новый режим, соответствующий профилю сред
него |
потока и |
равновесным |
напряжениям |
Рейнольдса |
|
(вторич |
|||
ное |
течение) |
ѵ'г |
4 |
|
Я — ѵ'2 |
|
п |
|
|
U — R ’ |
а z0z_— |
— |
, |
z+—0, |
, |
(1.57) |
|||
|
К 1’]2 |
Я — ^2 |
|
|
|
||||
или, |
2 у/ T r * ’ |
v { i ) = ^ v W , |
« < 1 , Д > \ / 2 |
||||||
переходяU (у) = |
к\/2размернымѵ/з sin ру, |
величинам(и'и'У = —, |
-получаемJ R ~ ^ cos ру. |
(1.58) |
|||||
Отметим, что амплитуда установившегося равновесного среднего
течения не зависит |
от амплитуды возбуждающей силы. Кроме |
|
того, величина |
может бңть как положительной, так |
и отри^ |
|
|
|
24
а |
б |
|
Рис. |
5. Профиль средней скорости (а) |
и линии тока вторичного |
|
течения (б), R = 2 і ? кр = |
2 'll (v'0 > 0) |
цательной в зависимости от знаков амплитуд начальных малых возмущений.
Функция тока установившегося равновесного течения имеет
вид |
_ |
у |
2 |
_ |
у |
ах |
|
= |
^2 |
|
|
|
-f- sin аж]. (1. 59) |
||
---- д- cos |
|
— — уШ [і^2а sin cos |
|
||||
Ha рис. 5 изображены линии тока, соответствующие течению
(1.58) при Д = 2 Д кр=2\/2 (і>М > 0 ) , |
уравнение |
которых |
|
|||||||
a |
cos |
у |
+ \/2а sin |
у |
cos |
ах |
+ sin |
ах = |
G. |
(1. 60) |
|
|
|
|
|
|
|||||
На этом же рисунке также дано схематическое изображение про филя среднего потока. В этом случае, в отличие от ламинарного течения (1. 45), возникают системы вихрей, периодически распо ложенных в пространстве, наклон больших осей которых опре деляется знаком производной по у профиля среднего потока.
Течение (1. 58) было получено, как указывалось выше, в пред положении, что нелинейное взаимодействие гармоник возмуще ния не существенно по сравнению с их взаимодействием со сред ним потоком. Это будет справедливым, если течение (1. 58) устой чиво, в свою очередь, относительно малых возмущений. Проверку устойчивости можно провести обычным путем, линеаризуя урав нение для функции тока (1. 47) относительно течения (1. 58) (Кляцкин (1972)). При этом оказывается, что течение (1. 58)
устойчиво, |
если |
ограничиться |
гармониками того |
же вида, что |
и решение |
(1. 58). Имеются указания на то, что оно является |
|||
неустойчивым |
относительно |
мелкомасштабных |
возмущений |
|
(см, также |
работу Юдовңча |
(1973)). |
|
|
Глава II
СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА
-Г-4
§ 1. Квадратично-нелинейные системы, интегралы движения
В гл. I было показано, что конечномерная аппроксимация уравне ний гидродинамики является весьма эффективным методом опи сания того или иного течения жидкости. В практических расчетах на ЭВМ, например, при численном прогнозе погоды, всегда рас сматривается некоторая «модель» системы, состояние которой описывается конечным числом параметров, а применяемые чис ленные схемы, являющиеся аппроксимацией уравнений в частных производных (уравнения гидродинамики), можно трактовать как уравнения движения для выбранной модели.
Очевидно, модели могут быть «хорошими», если они отражают некоторые основные свойства исходной системы уравнений гидро динамики и обладают достаточной точностью или, в противном случае, могут оказаться неудовлетворительными с физической точки зрения. В связи с этим имеет смысл разобраться более детально в конечномерных аппроксимациях уравнений гидроди намики и, в частности, выяснить те требования, которые должны предъявляться к «хорошим» моделям.
Каковы же те общие черты схематизированных уравнений гидродинамики, о которых может идти речь в связи с обсуждае мым кругом вопросов? Это прежде всего характер нелинейности уравнений, определяющих эволюцию системы во времени. Будем считать, что ии и2, . . ., ип — параметры, определяющие состоя ние системы в рамках выбранной модели, являются линейными функционалами от поля скоростей жидкости. Такими парамет рами могут быть, например, значения компонент скорости потока, усредненные по некоторой области в окрестности точек, принад лежащей заданной сетке, или коэффициенты разложения фуикции тока в ряд по шаровым функциям (до некоторого фиксированного номера) для определенных выбранных уровней (разумеется, в конечном числе), как это делается в спектральных моделях ат мосферы. Используя для величин и. некоторое естественное на чало отсчета, систему уравнений движения (уравнения прогноза)
26
модели, содержащей п параметров, можно записать в следующей форме:
= 2 |
4 < А '.+ Т 2 |
2 Г<’ # UJU*' |
(2- 1} |
j |
і |
к |
|
где члены, стоящие в правой части, сгруппированы по степеням параметров ик. Матрица коэффициентов А , характеризующая влияние членов первой степени і і ., определяет линейную часть прогностического оператора, набор коэффициентов Г,.Jk опреде ляет влияние членов второй степени, т. е. квадратичную часть оператора прогноза, и т. д. Старшая степень членов, учитываемых в прогностическом уравнении для йп определяет характер нели нейности системы. Уравнения гидродинамики идеальной несжи маемой жидкости являются квадратично нелинейными. Сохране ние только линейных членов в общих уравнениях динамики ат мосферы позволяет исследовать лишь качественный характер атмосферных процессов и полезно при решении ..некоторых спе циальных задач о малых колебаниях атмосферы (наиболее совре менное изложение этих вопросов имеется в монографии Л . А . Ди кого (1969)). Вместе с тем для задачи прогноза погоды и изучения закономерностей обмена энергией в атмосфере необходимо учи тывать квадратичные члены и, по-видимому, нет существенной необходимости привлекать члены более высокого порядка. Таким образом, большинство задач динамической метеорологии, решае мых, в частности, на ЭВМ, использует динамические уравнения с квадратичной нелинейностью.
Любопытно, что это свойство уравнений динамической метеоро логии роднит их с уравнениями, описывающими процессы в био ценозах, привлекающие большое внимание биологов в связи с ре шением экологических проблем. Известно простейшее уравнение биоценоза в системе, состоящей из особей двух типов (травоядные и хищники) при наличии неограниченного запаса зеленого корма (Вольтерра (1931)). Обозначим через АД численность популяции
травоядных, А |
2 |
— число хищников и запишем |
соответствующее |
|
уравнение биоценоза в квадратичном приближении |
||||
|
|
# 1 = |
а Л Д - р В Д , |
(2. 2) |
|
|
АД = |
— ГЛД — 8АДЛД. |
|
Это и есть уравнения Вольтерра, в которых а, (3, у и 8 — поло жительные коэффициенты, описывающие «динамику» данной си стемы. Интересно, что эта система допускает «интеграл движения» И = — 8ЛД—у In ЛД-|-ß АД— а In АД. В силу уравнений динамики системы dHldt—0. Выведенная из состояния равновесия (если, например, выловить половину всех хищников) такая система будет совершать колебания. В силу нелинейности системы период этих колебаний зависит от амплитуды, а форма заметно отли чается от синусоидальной. Анализ 'соответствующих колебаний
27
имеется в книге А . А . Андронова и др. (1959), а также в курсе Арнольда (1971).
В отсутствие внешних сил и диссипации движение жидкости, как и любой другой механической системы, сопровождается со хранением энергии (квадратичного функционала от поля скоростей). Наряду с характером нелинейности существование такого ин теграла движения является второй важнейшей особенностью урав нений гидродинамики, которую необходимо учитывать при по строении конечномерных динамических моделей, претендующих на описание реальных гидродинамических систем. Вообще нужно стремиться к тому, чтобы в рамках упрощенной модели существо вали аналоги общих'.интегралов движения, которыми обладают исходные уравнения движения. Так, например, уравнения дви жения баротропной ‘атмосферы, состояние которой описывается функцией тока ф, с учетом сжимаемости имеют вид (см., например,
Монин (1970)) |
|
= |
(2.3) |
с дополнительным условием на границе области ф /L |
= 0 . В этом |
||
случае полная энергия выражается интегралом |
|
||
Е= § SSKgrad |
dxdy■ |
(2-4) |
|
я |
|
|
связанный |
Существует также и второй квадратичный интеграл, |
|||
с сохранением потенциального |
вихря |
|
|
1 ~ И ^ |
— е д 2 dxdlJ- |
(2 - 5) |
|
я |
|
|
|
Фазовые координаты для такой модели атмосферы вводятся разло жением по некоторой опорной системе ортогональных функций
(Хі 0е» I/)} и аппроксимацией ряда конечным числом членов ф=
»
= 2 и,Хг В качестве X. удЬбно выбрать собственные функции
1
оператора А
дХ.- = — 'fc§Xp Х< І ^ О -
Получениая таким образом упрощенная система уравнений дви жения также обладает двумя квадратичными интегралами дви жения. Следует, однако, подчеркнуть, что если существование интеграла энергии является общим свойством всех гидродинами ческих систем, то наличие других инвариантов связано с их ин дивидуальными особенностями, которые уже не носят столь универсального характера и могут иметь различный физический смысл. В только что рассмотренном примере существование вто рого квадратичного интеграла движения (2. 5) оказывается пря
28