Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А 4

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

§ 1. Абсолютная сходимость и условная сходимость

Знакопеременным

рядом

называется

ряд, членами

которого являются вещественные числа

произвольного

знака1 ). Пусть

 

 

(4.1)

И І +

И 8 + . . .

+ И „ + . . .

— некоторый знакопеременный ряд. Некоторую инфор­ мацию об этом ряде можно получить, рассматривая ряд

І"і| + | " 2 І + . . . + К ! + ---> (4 -2 )

членами которого являются абсолютные величины (мо­ дули) членов знакопеременного ряда (4.1). Этот состав­

ленный из модулей

ряд является, очевидно, рядом

с положительными

членами и потому его можно изу­

чать на основании приемов, изложенных выше. Между сходимостью ряда (4.1) и сходимостью ряда (4.2) суще­

ствует известная связь.

 

 

О п р е д е л е н и е . Знакопеременный ряд

(а

также

ряд с комплексными членами) называется

абсолютно

сходящимся,

если сходится ряд, составленный из

моду­

лей его членов.

 

 

Абсолютно сходящиеся ряды во многих отношениях

напоминают ряды с положительными членами.

 

*) Иногда

знакопеременными рядами называются

такие

ряды,

в которых любые два соседних члена имеют различные

знаки.

Далее мы будем употреблять термин «знакопеременный

ряд» в ука­

занном выше более общем смысле и называть ряды, в которых

члены

попеременно

положительны и отрицательны,

знакочередую­

щимися

рядами (см.

§ 6).

 

70

 

 

ГЛ. 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

 

 

О п р е д е л е H

и е. Знакопеременный ряд (ряд с комп­

лексными

членами)

называется

условно

сходящимся,

если он сводится,

но не сходится

абсолютно1 ).

 

Для условно сходящихся рядов ''некоторые

привыч­

ные законы арифметики не имеют

места.

 

 

§ 2. Абсолютная сходимость п расходимость

Т е о р е м а

1.

Всякий

абсолютно

сходящийся ряд

сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

"і + « 2

+ .•• + «* + ..-

 

(4.3)

— некоторый

знакопеременный ряд, который абсолютно

сходится. Это означает,

что сходится

ряд

 

 

 

 

.

| " і | +

і

"

2 І + .-- +

К І + - - .

(4.4)

Тогда по теореме

об умножении ряда

на число (см. § 8

гл. 2) сходится и ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 \ и 1 \ + 2 \ и 2 \ + . . . + 2 \ и п \ + . . .

-

 

Но очевидно, что при любом п

 

 

 

 

 

 

 

0 < « „ + | « „ 1 ^ 2 | и „ | .

 

 

Следовательно, по признаку сравнения рядов

(см. § 2

главы

3) сходится

и ряд

 

 

 

 

 

( « 1

+ К

! Ж " 2

+ І « 2 І )

+ . . . + (и»

+

|и„| )

+ . . .

(4.5)

Но тогда по теореме о вычитании рядов (см. § 8 главы 2)

сходится и ряд, членами которого

являются разно­

сти

соответствующих членов рядов

(4.5) и (4.4), т. е.

ряд

(4.3).

 

 

Доказанная теорема остается в силе и в том слу:

чае, когда члены ряда (4.3) являются комплексными числами.

Действительно, положим

un = vn + iwa.

*)

Иногда такие ряды называются неабсолютно

сходящимися

или

полусходящимися.

 

§ 2. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ

71

Тогда должно быть

\Ип\ = Ѵ Ѵп + МпШ\ѵп\,

I " я \ = V V°n + W%^ I Ш„ |.

Из сходимости ряда (4.4) следует поэтому сходимость обоих рядов

 

 

Ѵ1+Ѵ2-\-...+

Ѵп + . . . ,

 

 

 

 

^ і + аУ2 +

 

. - - + оУл +

 

- "

 

 

и тем самым сходимость

ряда

 

 

 

 

(ѵх + iwx) +

(и2 + да2) + ... + (vn

+ iwn)

-{-...,

 

т. е. ряда (4.3).

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

2. .Если"

 

 

 

 

 

 

 

 

«і + и« +

. . . + «» +

.. •

 

(4-6)

— абсолютно

сходящийся

ряд с суммой s, а сумма ряда

равна S, /по

|«tl + l«»| + . . . + l««l +

.-.

.

(4.7)

 

|s|=SS.

 

 

(4.8)

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы имеем для п-й

частичной

суммы s„ ряда (4.6)

 

 

 

 

 

 

 

І 5 я

| ^ | и і І +

 

І"2І + .-.. +

 

| и в | .

 

 

Переходя в этом неравенстве к пределу по п при

п-+оо,

мы получаем

(4.8).

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

£Ьш п-й остаток

абсолютно

сходя­

щегося ряда (4.6) есть r,„ а п-й остаток

ряда

(4.7)

есть Rtl, то

 

 

 

 

 

 

 

 

| г „ | < Я л .

Пр и м е р ы.

1.Ряд

. J

- 4 - - î-4-

1 4 -

сходится абсолютно, потому что сходится ряд «обратных квадра­ тов»

1 2 ^ 2 2 ^ 3 2 ^ " ' ^ П 2 ^ - - -

Следовательно, по доказанной теореме ряд сходится.

72

ГЛ. "4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

 

2. Ряд

 

 

 

 

 

 

sin

а

sin 2а

 

(4.9)

 

I

 

23

л 2

 

2

 

является знакопеременным. Составим

ряд из абсолютных величин

членов нашего

ряда

+

 

 

 

 

 

sin 2а I

I sin ла

(4.10)

 

I 2

22

+...

 

 

Члены последнего ряда не превосходят соответствующих членов ряда «обратных квадратов». Но ряд «обратных квадратов» схо­ дится; поэтому сходится и ряд (4.10). Это значит, что ряд (4.9) сходится абсолютно и тем самым сходится.

С другой стороны, существуют знакопеременные сходящиеся ряды, которые не сходятся абсолютно.

П р и м е р . Рассмотрим ряд

1 Т + ! - Т + - - К - 1 ) Л + 4 + -

(4.11)

Модули членов этого ряда составляют гармонический ряд, который расходится (см. § 2 главы 3). Следовательно, ряд (3.11) не является абсолютным сходящимся.

Убедимся в том, что он все-таки сходится. Пусть sn—л-я частичная сумма ряда (4.11). Мы имеем

1

1 .

1

1

,

+ .

1

_1_

 

sfc2 = l - 2 - - r - T -

T

2k-l

'2k'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1 - 2 ^ 3 - 4 ^

( 2 è - l ) 2 f t '

Сравнение

 

ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(4.12)

 

 

 

1 - 2 ^ 3 - 4 ^

 

(2k — l)2k 1 *"

 

 

 

 

 

с рядом «обратных квадратов» указывает на его сходимость. Пусть

 

 

lim

s2 ft=s.

 

(4.13)

Далее

 

Ä-t-oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 1 ,

1

1

 

1

 

 

S2A+i=l—2 +

У - ' " -

2k^2k+l

 

 

 

 

- ( 1 - 1 + . .

1

 

 

 

2k

 

2fe+l

 

\2

3 +

"

 

 

 

 

 

1

.

1

 

 

; 1 - І а т а

+

Г б + - - 2/е (2А+ 1),

Смотрите также файлы